第八章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第5节　直线、平面垂直的判定与性质 [考试要求] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间垂直关系的简单命题. 1.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义. 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理. 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性 质 定 理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒ a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是0°的角. (2)范围:[0,]. 3.二面角 (1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,两个半平面叫做二面角的面. 如图,记作:二面角αlβ或二面角αABβ或二面角PABQ或二面角PlQ. (2)二面角的平面角:在二面角αlβ的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角,∠AOB∈[0,π]. 4.平面与平面垂直 (1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理. 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 ⇒ α⊥β 性 质 定 理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 5.三者之间的关系 [重要结论] 与线面垂直相关的两个常用结论 (1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (2)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)垂直于同一条直线的两条直线垂直.(　　) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.(　　) (3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(　　) (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.(教材改编题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在平面,C为圆上异于A,B的任意一点,AE⊥PC,垂足为E,点F是PB上一点,则下列判断中不正确的是(　C　) A.BC⊥平面PAC B.AE⊥EF C.AC⊥PB D.平面AEF⊥平面PBC 解析:PA垂直于以AB为直径的圆所在平面,而BC⊂底面圆面,则PA⊥BC,又由圆的性质可知AC⊥BC,且PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,则BC⊥平面PAC,所以A正确;因为AE⊂平面PAC,可知BC⊥AE,又因为AE⊥PC,且BC∩PC=C,BC,PC⊂平面PCB,所以AE⊥平面PCB,而EF⊂平面PCB,所以AE⊥EF,所以B正确;因为AE⊥平面PCB,AC与平面PCB不垂直,所以AC⊥PB不成立,所以C错误;由B项可知,AE⊥平面PCB,AE⊂平面AEF,由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC,所以D正确.故选C. 3.(2023·赣抚吉十一联盟联考)已知圆锥的底面半径为r,当圆锥的侧面积为πr2时,该圆锥的母线与底面所成角的正切值为(　A　) A. B. C. D. 解析:设圆锥的母线长为l,由题意可得圆锥的侧面积S侧=πrl=πr2,解得=,所以母线与底面所成角的余弦值cos θ=,由同角三角函数关系可得,sin θ==,因此母线与底面所成角的正切值tan θ==.故选A. 4.(2022·全国乙卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(　A　) A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D 解析:如图,对于选项A,在正方体ABCDA1B1C1D1中,因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,又AC⊥BD,所以EF⊥BD,又易知DD1⊥EF,BD∩DD1=D,从而EF⊥平面BDD1,又EF⊂平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故选项A正确;对于选项B,因为平面A1BD∩平面BDD1=BD,所以由选项A知,平面B1EF⊥平面A1BD不成立,故选项B错误;对于选项C,由题意知直线AA1与直线B1E必相交,故平面B1E