第八章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系 [考试要求] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 1.平面的基本性质及相关公(定)理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 公 理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 ⇒ l⊂α 判断 直线 在平 面内 公 理 2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线⇒有且只有一个平面α,使A∈α, B∈α,C∈α 确定 平面、 直线 共面 公 理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ⇒ α∩β=l, 且P∈l 寻找 两平 面的 交线; 证明 线共 点 公 理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 ⇒ m∥n 证明 线线 平行 续　表 文字语言 图形语言 符号语言 作用 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 ⇒∠A=∠A′ 或∠A+∠A′=π 判断 或证 明两 角相 等或 互补 2.空间中点、线、面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平 行 关 系 图形 语言 符号 语言 a∥b a∥α α∥β 交点 个数 0 0 0 相 交 关 系 图形 语言 符号 语言 a∩b=A a∩α=A α∩β=l 交点 个数 1 1 无数个 其 他 关 系 图形 语言 符号 语言 a,b是异 面直线 a⊂α 交点 个数 0 无数个 3.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围:(0,]. [重要结论] (1)公理2的三个推论. 推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面; 推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面; 推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面. (2)异面直线判定的一个定理. 过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.(　　) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(　　) (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(　　) (4)没有公共点的两条直线是异面直线.(　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.(教材改编题)如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,则下列说法不正确的是(　D　) A.AB与CD是异面直线 B.GH与CD相交 C.EF∥CD D.EF与AB异面 解析:把展开图还原成正方体,如图所示.还原后点G与C重合,点B与F重合,由图可知A,B,C正确,EF与AB相交,故D错误.故选D. 3.(2023·北京东城区模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为CC1,D1C1的中点,则下列直线中与直线BE相交的是(　A　) A.直线A1F B.直线AD1 C.直线C1D1 D.直线AA1 解析:连接EF,CD1,A1B,则EF∥CD1,由A1D1∥BC,可得四边形A1D1CB为平行四边形,所以A1B∥CD1,所以EF∥A1B,即四边形EFA1B为梯形,故直线A1F与直线BE相交,直线AD1与直线BE为异面直线,直线C1D1与直线BE为异面直线,直线AA1与直线BE为异面直线.故选A. 4.(2021·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(　D　) A. B. C. D. 解析:法一　如图,连接C1P,因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,且P为B1D1的中点,所以C1P⊥B1D1,又C1P⊥BB1,所以C1P⊥平面B1BP.又BP⊂平面B1BP,所以有C1P⊥BP.连接BC1,则AD1∥BC1,所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则在直角三角形C1PB中,PC1=B1D1=,BC1=2,sin ∠PBC1==,所以∠PBC1=.故选D. 法二　如图所示,连接BC1,A1B,A1P,PC1,则易知AD1∥BC1,所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角.根据P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点,易知A1,P,C1三点共线,且P为A1C1的中点