第八章 第2节 空间几何体的表面积和体积-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第2节　空间几何体的表面积和体积 [考试要求] 1.了解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式. 2.能用表面积和体积公式解决简单的问题. 1.常见几何体的侧面展开图 名称 侧面展开图 侧面展开图形状 棱 柱 矩形 圆 柱 矩形 棱 锥 共顶点的三 角形 圆 锥 扇形 棱 台 若干个 小梯形 圆 台 扇环 2.常见旋转体的表(侧)面积 名称 图形 表面积 侧面积 圆柱 S=2πr2+2πrl= 2πr(r+l) S侧= 2πrl 圆锥 S=πr2+πrl= πr(r+l) S侧=πrl 圆台 S=π(r′2+r2+ r′l+rl) S侧= π(r+r′)l 球 S=4πr2 3.常见空间几何体的体积公式 (1)设棱(圆)柱的底面积为S,高为h,则体积V=Sh. (2)设棱(圆)锥的底面积为S,高为h,则体积V=Sh. (3)设棱(圆)台的上、下底面面积分别为S′,S,高为h,则体积V=(S′++S)h. (4)设球的半径为R,则球的体积V=πR3. [重要结论] (1)长方体的外接球. 球心:体对角线的交点; 半径:r=(a,b,c为长方体的长、宽、高). (2)正方体与球. ①正方体的内切球:截面图为正方形EFHG的内切圆,如图所示.设正方体的棱长为a,则|OJ|=r=(r为内切球半径). ②与正方体各棱相切的球:截面图为正方形EFHG的外接圆,则|GO|=R=a. (3)正四面体与球. 如图,设正四面体的棱长为a,内切球的半径为r,外接球的半径为R,取AB的中点为D,连接CD,SD,SE为正四面体的高,在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切,圆心在高SE上的圆.因为正四面体本身的对称性,内切球和外接球的球心同为O.此时,CO=OS=R,OE=r,SE=a,CE=a,则有R+r=a,R2-r2=|CE|2=,解得R=a,r=a. (4)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球. ①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,则可以补形为一个正方体,正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.即三棱锥A1-AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心重合.如图,设AA1=a,则R=a. ②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等,则可以补形为一个长方体,长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.R2==(a,b,c为长方体的长、宽、高,l为长方体的体对角线长). 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)锥体的体积等于底面面积与高之积.(　　) (2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.(　　) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(　　) (4)已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a,则R=a.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(2023·贵州遵义检测)已知某圆柱的高为4,体积为4π,则该圆柱外接球的表面积为(　B　) A.32π B.36π C.40π D.44π 解析:设圆柱底面圆的半径为r,则πr2×4=4π,解得r=1. 设该圆柱的两底面中心分别为O1,O2,则该圆柱外接球的球心O为线段O1O2的中点,球O的半径为R==3,故球O的表面积为S=4πR2=36π.故选B. 3.(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙,若=2,则等于(　C　) A. B.2 C. D. 解析:法一　因为甲、乙两个圆锥的母线长相等,所以结合=2可知,甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.不妨设两个圆锥的母线长为l=3,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则由题意知,两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆,所以2πr1=4π,2πr2=2π,得r1=2,r2=1.由勾股定理得,h1==,h2==2,所以===.故选C. 法二　设两圆锥的母线长为l,甲、乙两圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,侧面展开图的圆心角分别为n1,n2,则由===2,得==2.由题意知n1+n2=2π,所以n1=,n2=,所以2πr1=l,2πr2=l,得r1=l,r2=l.由勾股定理得,h1==l,h2==l,所以===.故选C. 4.(教材改编题)某长方体从一个顶点出发的三条棱的长分别为3 cm,3 cm, cm,则该长方体的外接球的表面积为　　　　 cm2;如图,将此长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥,则剩下的几何体的体积为　　　　 cm3.  解析:由题意,长方体从一个顶点出发的三条棱的长分别为3 cm,3 cm,