第一章 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第3节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 [考试要求] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义. 2.理解全称量词和存在量词的意义. 3.能正确地对含一个量词的命题进行否定. 1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词. (2)命题p且q、p或q、非p的真假判断. p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全称量词和存在量词 (1)全称量词:短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“∀”表示. (2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∃”表示. 3.全称命题和特称命题 将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示 名称 全称命题 特称命题 结构 对M中任意一个x,有p(x)成立 存在M中的一个x0,使p(x0)成立 简记 ∀x∈M,p(x) ∃x0∈M,p(x0) 否定 ∃x0∈M,﹁p(x0) ∀x∈M,﹁p(x) [重要结论] 1.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”,可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题. 2.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p与﹁p→真假相反. 3.“p∨q”的否定是“(﹁p)∧(﹁q)”,“p∧q”的否定是“(﹁p)∨(﹁q)”. 4.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词,否定结论”. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)命题“5>6或5>2”是假命题.(　　) (2)命题﹁(p∧q)是假命题,则命题p,q中至少有一个是假命题.(　　) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题.(　　) (4)∃x0∈M,p(x0)与∀x∈M,﹁p(x)的真假性相反.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(教材改编题)已知p:2是偶数,q:2是素数,则命题﹁p,﹁q,p∨q,p∧q中真命题的个数为(　B　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:p和q显然都是真命题,所以﹁p,﹁q都是假命题,p∨q,p∧q都是真命题.故选B. 3.(2022·四川成都三模)命题“∀x∈R,ex+2>0”的否定是(　A　) A.∃x0∈R,+2≤0 B.∀x∈R,ex+2≤0 C.∃x0∈R,+2>0 D.∀x0∈R,+2<0 解析:由全称命题的否定可知“∀x∈R,ex+2>0”的否定是“∃x0∈R,+2≤0”.故选A. 4.(2023·江苏南京宁海中学模拟)若命题“∀x∈[1,4],x2>m”是假命题,则m的取值范围是(　B　) A.[16,+∞)　 B.[1,+∞) C.(-∞,16) D.(1,+∞) 解析:因为“∀x∈[1,4],x2>m”是假命题,则其否定“∃x0∈[1,4],≤m”为真命题,则(x2)min≤m. 而当x=1时,x2取得最小值1,所以m≥1.故选B. 考点一　含有逻辑联结词命题及其真假判断 1.(2021·全国乙卷)已知命题p:∃x∈R,sin x<1;命题q:∀x∈R,e|x|≥1,则下列命题中为真命题的是(　A　) A.p∧q B.﹁p∧q C.p∧﹁q D. ﹁(p∨q) 解析:由正弦函数的图象及性质可知,存在x∈R,使得sin x<1,所以命题p为真命题.对任意的x∈R,均有e|x|≥e0=1成立,故命题q为真命题,所以命题p∧q为真命题.故选A. 2.(2023·四川成都调研)已知命题p:函数y=+sin x,x∈(0,π)的最小值为2;命题q:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0.下列命题为真命题的是(　D　) A.(﹁p)∧q B.p∨q　 C.p∧(﹁q) D.(﹁p)∧(﹁q) 解析:命题p:函数y=+sin x,x∈(0,π),由基本不等式成立的条件可知,y>2=2,所以命题p是假命题. 命题q:取a=c=(1,0),b=(0,1),显然a·b=0,b·c=0,但a·c=1≠0,所以命题q是假命题.所以﹁p为真,﹁q为真.因此,只有(﹁p)∧(﹁q)为真命题.故选D. 3.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　A　) A.(﹁p)∨(﹁q)　 B.p∧(﹁q)　 C.(﹁p)∧(﹁q) D.p∨q 解析:命题p是“甲降落在指定范围”,则﹁p是“甲没降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则﹁q是“乙没降落在指定范围”,命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定