第一章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件 [考试要求] 1.理解命题的概念. 2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义. 1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系. (2)四种命题的真假性之间的关系. ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp [重要结论] 1.命题p与p的否定的真假性相反. 2.充分、必要条件与对应集合之间的关系:设A={x|p(x)},B={x|q(x)}. (1)若p是q的充分条件,则A⊆B; (2)若p是q的充分不必要条件,则A⫋B; (3)若p是q的必要不充分条件,则B⫋A; (4)若p是q的充要条件,则A=B. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)“x2-2x-3>0”是命题.(　　) (2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.(　　) (3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”.(　　) (4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件.(　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2.(2021·天津卷)已知a∈R,则“a>6”是“a2>36”的(　A　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:a2>36等价于|a|>6⇔a>6或a<-6,故a>6⇒|a|>6,即a2>36,但|a|>6a>6,因此“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.故选A. 3.(教材改编题)命题“若a<0,则一元二次方程x2+x+a=0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是　　　　　.  解析:当a<0时,Δ=1-4a>0,所以方程x2+x+a=0有实根,故原命题为真;根据原命题与逆否命题真假一致,可知其逆否命题为真;逆命题为“若方程x2+x+a=0有实根,则a<0”,因为方程有实根,所以判别式Δ=1-4a≥0,所以a≤,显然a<0不一定成立,故逆命题为假;根据否命题与逆命题真假一致,可知否命题为假.故真命题有2个. 答案:2 4.(2023·安徽合肥七校联考)已知集合A={x|<3x<27,x∈R},B={x|-1<x<m+1,m∈R},若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是　　　　　　　　.  解析:A=={x|-1<x<3}. 因为x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,所以A⫋B,所以m+1>3,即m>2. 答案:(2,+∞) 考点一　命题及其关系 1.(2023·安徽合肥模拟)设x,y∈R,命题“若x2+y2>2,则x2>1或y2>1”的否命题是(　C　) A.若x2+y2≤2,则x2≤1或y2≤1 B.若x2+y2>2,则x2≤1或y2≤1 C.若x2+y2≤2,则x2≤1且y2≤1 D.若x2+y2>2,则x2≤1且y2≤1 解析:根据否命题的定义可得命题“若x2+y2>2,则x2>1或y2>1”的否命题是“若x2+y2≤2,则x2≤1且y2≤1”.故选C. 2.(2023·四川成都模拟)给出下列命题: ①“若xy=1,则lg x+lg y=0”的逆命题; ②“若a·b=a·c,则a⊥(b-c)”的否命题; ③“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题; ④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题. 其中真命题的个数是(　D　) A.1　　 B.2　　 C.3 D.4 解析:对于①,“若xy=1,则lg x+lg y=0”的逆命题为“若lg x+lg y=0,则xy=1”,该命题为真命题; 对于②,“若a·b=a·c,则a⊥(b-c)”的否命题为“若a·b≠a·c,则a不垂直于(b-c)”,由a·b≠a·c 可得a·(b-c)≠0,据此可得a不垂直于(b-c),该命题为真命题; 对于③,若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0的判别式Δ=(-2b)2-4(b2+b)=-4b≥0,方程有实根,原命题为真命题,则其逆否命题为真命题; 对于④,“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”,该命题为真命题.故选D. 3.能说明“若f(x)>