第四章 第1节 任意角和弧度制、三角函数的概念-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第1节　任意角和弧度制、三角函数的概念 [考试要求] 1.了解任意角的概念和弧度制. 2.能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性. 3.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 1.角的概念 (1)定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)分类 (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度. (2)公式. 角α的弧度数公式 |α|=(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°= rad;1 rad=()° 弧长公式 弧长l=|α|r 扇形面积公式 S=lr=|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y), 则sin α=y,cos α=x,tan α=(x≠0). (2)任意角的三角函数的定义(推广): 设P(x,y)是角α终边上异于顶点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0). (3)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦,如图. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)锐角是第一象限角,第一象限角也都是锐角.(　　) (2)将表的分针拨快5分钟,则分针转过的角度是.(　　) (3)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.(　　) (4)若sin α>0,则α的终边落在第一或第二象限.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.(教材改编题)若sin α<0,且tan α>0,则α是(　C　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3.若点(sin ,cos )在角α的终边上,则sin α的值为(　A　) A.- B.- C. D. 解析:因为角α的终边上一点的坐标为(sin ,cos ),即(,-),所以由任意角的三角函数的定义,可得sin α=-.故选A. 4.已知扇形的圆心角为60°,其弧长为2π,则此扇形的面积为　　　　.  解析:设此扇形的半径为r,由题意得r=2π,所以r=6,所以此扇形的面积为×2π×6=6π. 答案:6π 考点一　象限角与终边相同的角 1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　C　) A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+(k∈Z) C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z) 解析:与角的终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z)或k·360°+45°(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,排除A,B,易知D错误,C正确.故选C. 2.(2023·四川绵阳模拟)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-x上,则角α的取值集合是(　D　) A.{α|α=2kπ-,k∈Z} B.{α|α=2kπ+,k∈Z} C.{α|α=kπ-,k∈Z} D.{α|α=kπ-,k∈Z} 解析:因为直线y=-x的倾斜角是,tan α=-,所以终边落在直线y=-x上的角的取值集合为{α|α=kπ-,k∈Z}或者{α|α=kπ+,k∈Z}.故选D. 3.(2023·云南保山模拟)集合{α|kπ+≤α≤kπ+,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是(　C　) 解析:当k=2n(n∈Z)时,2nπ+≤α≤2nπ+,此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+≤α≤2nπ+π+,此时α表示的范围与π+≤α≤π+表示的范围一样.故选C. 4.若角α是第二象限角,则是第　　　　象限角.  解析:因为α是第二象限角,所以+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,所以+kπ<<+kπ,k∈Z.当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角.综上,是第一或第三象限角. 答案:一或三 1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. 2.确定kα,(k∈N*)的终边位置的方法:先写出kα或的范围,然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置. 考点二　弧度制及其应用 [例1] 一扇形的圆心角α=,半径R=10 cm,求该扇形的面积. 解:由已知得α=,R=10 cm,所以S扇形=α·R2=××102=(cm2). [变式练习1] 若本例条件不变,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解:l=α·R=×10=(cm),S弓形=S扇形-S三角形=-·R2·sin =-×102×=(cm2). [变式