3.2.2 函数的奇偶性 导学案——2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高  一  年级   数学     学科导学案

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课题：函数的奇偶性

【学习目标】1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义

2. 了解奇偶函数的图象的对称性，掌握函数奇偶性的简单应用

【重点难点】函数奇偶性的求解

【学习流程】

◎基础感知

问题：我们知道函数的图象能够反映函数的性质，那么函数图象的对称性反映了函数的什么性质呢？

◎探究未知

一、知识点　函数的奇偶性

1．奇函数

(1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数；

(2)图象特征：图象关于原点对称，反之亦然．

2．偶函数

(1)定义：设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数；

(2)图象特征：图象关于y轴对称，反之亦然．

3．奇偶性

当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性．

记忆点：(1)定义域I具有对称性，即∀x∈I，－x∈I.定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数；

(2)当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系．特别地，若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)是非奇非偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)既是奇函数又是偶函数．　

例1、下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　)

例2．下列函数是偶函数的是________(填序号)．

①y＝x；②y＝2x2－3；③y＝；④y＝x2，x∈[0，1]．

跟踪训练：1．若函数y＝f(x)，x∈[－1，a]是奇函数，则a＝________．

2．若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________．

 

二、判断函数的奇偶性

方法技巧：判断函数奇偶性的两种方法

1、定义法：先判断定义域是否关于原点对称，若不是，则既不是奇函数也不是偶函数，若是，则计算f(-x),确定f(x)与f(-x)的关系，最后下结论

2、图象法：观察函数图像，若关于原点对称，函数为奇函数；若关于y轴对称，函数为偶函数

例3、判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；

(3)f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．

跟踪训练：1、下列四个函数中为偶函数的是(　　)

A．y＝2x　　　B．y＝   C．y＝x2－2x  D．y＝|x|

 

三、利用函数奇偶性求参数

方法技巧：利用奇偶性求参数的常见类型

(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数；

(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．　　　　

例4、(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________；