精品解析：湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高三上学期第一次阶段性测试数学试题

数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知，，则在复平面内所对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. （ ） A. B. C. D. 2 5. 小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 将边长为1的正六边形进行如下操作：第一次操作，在每条边上，以边长的为长度作正六边形，保留新作的六个小正六边形，删除其余部分；第二次操作，将上一次操作剩余的正六边形进行第一次操作……以此方法继续下去，如图所示．若要使保留下来的所有小正六边形面积之和小于，则至少需要操作的次数为（ ）（，） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 7. 如图所示，圆锥底面半径为2，为底面圆心，，为底面圆上的点，且，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分． 9. 已知条件p：；条件q：.若p是q的必要条件，则实数a的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 设是公比为正数等比数列前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 为常数 D. 为等比数列 11 已知函数，则（ ） A. 函数图像可由的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到 B. 函数的一个对称中心为 C. 函数的最小值为 D. 函数在区间单调递减 12. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早年左右.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和.则下列命题中正确的是（ ） A. 在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是 B. 由“第行所有数之和为”猜想： C. D. 存在，使得为等差数列 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量，，若，则________． 14. 已知变量和的统计数据如右表：若由表中数据得到经验回归直线方程为，则时的残差为______（注：观测值减去预测值称为残差）． 6 7 8 9 10 3.5 4 5 6 6.5 15. 已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为___________. 16. 已知函数满足时，，．若函数的图像与x轴恰好有个不同的交点，则_________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知等差数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 18. 在①，②，③中选一个，补充在下面的横线中，并解答. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________. （1）求A； （2）若内角A的角平分线交BC于点，且，求的面积的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分） 19. 如图所示，为等边三角形，平面，，，，为线段上一动点． （1）若为线段中点，证明：． （2）若，求二面角的余弦值． 20. 素质教育是指一种以提高受教育者诸方面素质为目标的教育模式．它重视人的思想道德素质、能力培养、个性发展、身体健康和心理健康教育．由此，某校的一位班主任在其班的课后服务课中展开羽毛球比赛，采用五局三胜制，经过一段时间紧张激烈的角逐，最终甲、乙两人进行总决赛，在总决赛的比赛中，甲每局获胜的概率为，且各局比赛之间没有影响． （1）求甲获胜的概率； （2）比赛结束时，甲比赛的局数为，求的分布列及其期望． 21. 已知函数，． （1）证明：对于，，都有． （2）当时，直线：与曲线和均相切，求直线的方程． 22. 已知直线：与双曲线：相交于两个不同的点，，线段的垂直平分线分别与，轴相交于，两点． （1）若，且