24.1.3 弧、弦、圆心角教学设计 2023-2024学年人教版数学九年级上册

24.1.3　弧、弦、圆心角

教材分析

本节课主要是研究圆心角、弧、弦之间的关系并利用其解决相关问题，是在学生了解了圆和学习了垂径定理以及旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，是下一节课的理论基础．教学过程中要注意强调“同圆或等圆中”这个前提条件，避免学生囫囵吞枣．

备课素材

一、导入新课

【情景导入】

(1)观察图片，我们会发现圆绕着圆心旋转任意一个角度，都能与自身重合，这就是圆的旋转不变性．

(2)如图1，∠AOB的顶点在圆心上，两边与圆相交，在圆中我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．∠AOB即为圆心角．

(3)如图2，连接AB，圆心角∠AOB所对的弦为弦AB，所对的弧为.那么圆心角与它所对的弧、弦这三个量之间有什么关系呢？

　　　　　　　　　 　　　　　　　　　  　图1　　　　　 　　图2

【说明与建议】　说明：通过实验操作，探索圆的旋转不变性与“如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧、弦是不是相等”，激发学生的学习兴趣．建议：尽量让学生自己动手操作，引导学生得出等量关系．

【置疑导入】(1)圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？

(2)如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

【说明与建议】　说明：通过对中心对称图形的回顾，引出圆这个中心对称图形和圆的旋转性质，并由问题(2)得出圆心角、弧、弦之间的关系．建议：尽量让学生操作试验，并从圆心角、弧、弦方面引导学生得出等量关系．

二、命题热点

命题角度1　利用弧、弦、圆心角之间的关系进行计算

1．如图，在⊙O中＝，∠AOB＝40°，则∠COD的度数(B)

A．20°          B．40°        C．50°         D．60°

2．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝120°．

命题角度2　利用弧、弦、圆心角之间的关系进行证明

3．如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BD∥OC.求证：＝.

证明：∵OB＝OD，∴∠D＝∠B.

∵BD∥OC，∴∠D＝∠COD，∠AOC＝∠B.

∴∠AOC＝∠COD.∴＝.

4．如图，在⊙O中，点C是的中点，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E.求证：CD＝CE.

证明：∵点C是的中点，∴∠AOC＝∠BOC.

∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE.

三、数学文化拓展阅读

阿基米德折弦定理

阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、

高斯并称为三大数学王子．如果以他们三人的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德．他甚至被人尊称为“数学之神”．

阿拉伯Al－Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al－Biruni本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．

阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．

如图中所示，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是的中点，MF⊥AB，垂点为F，则AF＝BF＋BC.

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