24.1.2 垂直于弦的直径教学设计 2023-2024学年人教版数学九年级上册

24.1.2　垂直于弦的直径

教材分析

本节内容是前面初步理解圆后的第一个重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为实行圆的计算和作图提供了方法和依据．本课时主要内容有垂直于弦的直径的性质、推论及其应用．教学时要提醒学生在使用性质时要注意：直径和直径垂直于弦这两个条件缺一不可．

备课素材

一、导入新课

【情景导入】

(1)请同学把手中的圆对折，你会发现圆是一个什么样的图形呢？

(2)请同学们再把手中的圆沿直径向上折，折痕是圆的一条什么呢？通过观察，你能发现直径与这条折痕的关系吗？

【说明与建议】　说明：通过折叠圆的操作，探索圆的轴对称性及垂径定理，思考利用等腰三角形的性质证明圆的轴对称性．建议：学生动手操作，并分组观察、讨论和归纳操作结果，在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．

【归纳导入】

(1)操作1：如图①，沿着圆的直径折叠圆，你有什么发现？

【归纳】　圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．

(2)操作2：如图，将一个圆二等分、四等分、八等分．

　　　　　　　　　 　　　　　     ①　　　　 　②　　　 　　③

(3)操作3：按下面的步骤做一做：

第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两部分重合；

第二步，展开，得到一条折痕CD；

第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，沿垂线将纸片折叠；

第四步，将纸打开，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足，新的折痕与圆交于另一点B，如图．

在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？

【说明与建议】　说明：通过对剪圆和折叠圆的操作，调动学生的积极性，活跃课堂气氛．建议：在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质时注意全等图形或等腰三角形知识的复习和应用．

二、命题热点

命题角度1　垂径定理及推论的理解

1．下列说法正确的是(D)

A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧  B．平分弦的直径垂直于弦

C．垂直于直径的直线平分这条直径  D．弦的垂直平分线经过圆心

2．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立是(C)

A.＝     B.＝     C．OE＝BE     D．CE＝DE

命题角度2　直接利用垂径定理进行计算

3．如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC＝4，则弦AB的长为(C)

A．10       B．8       C．6                                 D．4

4．如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝12，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值是(D)

A．10       B．16       C．6                                  D．8

命题角度3　垂径定理的实际应用

5．如图，一个隧道的截面图为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为(D)

A．5米       B．7米       C.米                    D.米

6．(鄂州中考)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2.已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是(B)

　　　　　　　　　　　　　　　图1　　　　　　图2

A．1米      B．(4－)米      C．2米      D．(4＋)米

三、数学文化拓展阅读

魔术蛋

魔术蛋是九块板，这九块板合起来是一个椭圆，形如鸟蛋，用它可以拼出各种鸟形，因而又名“百鸟拼板”．

要制作一个魔术蛋，先绘制一个椭圆形鸟蛋：上部为半圆，下部为椭圆．

1．作一个圆，圆心为O，并通过圆心，作直径AB的垂线MN.

2．连接AN，并适当延长，再以A为圆心，AB的长为半径作圆弧交AN的延长线于点C.

3．连接BN，并适当延长，再以B为圆心，BA的长为半径作圆弧交BN延长线于点D.

4．以N为圆心，NC为半径，作圆弧CD，于是下部成为椭圆．

5．在OM上作线段MF等于NC.以F为圆心，MF为半径作圆弧，交AB于点G，H，连接FG，FH，这样魔术蛋便制好了．

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