3.3.2 抛物线的简单几何性质课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第 3 章圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质 1.掌握抛物线的几何性质．(重点) 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点) 3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点) 学习目标 一、回顾与探究 抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 即:当|MF|=d 时(d为M到l的距离)点M的轨迹是抛物线　　　 定点F叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线 抛物线的标准方程：建立如图所示的平面直角坐标系，可得抛物线的一种形式的标准方程y2=2px(p>0). 抛物线的四种不同标准方程 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 一、回顾与探究 3 由抛物线 y2 =2px(p>0) 如何研究抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质? 1.范围： 二、抛物线的几何性质 2.对称性： 若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 则(-y)2 = 2px , 即点(x,-y)也在抛物线上, 故抛物线y2 =2px(p>0)关于x轴对称. 而点(x,-y)与点（x,y）关于x轴对称, 定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点. ∴ y2 =2px(p>0)中，令y=0，则x=0. 即抛物线y2 =2px(p>0)的顶点(0,0). 3.顶点： 二、抛物线的几何性质 4.离心率： 由定义知, 抛物线y2 =2px(p>0)的离心率为e=1. 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径. 焦半径公式： 5.焦半径： 二、抛物线的几何性质 6.焦点弦： 过抛物线的焦点的弦，叫做抛物线的焦点弦. 焦点弦公式： 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图. |AB|=2p 2p越大，抛物线张口越大 7.通径： 二、抛物线的几何性质 判断下列命题是否正确： × × √ √ √ 方程 图形 范围 对称性 顶点 焦半径 焦点弦 通径 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py l F y x O l F y x O l F y x O x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 l F y x O 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) 抛物线的简单几何性质 二、抛物线的几何性质 二、抛物线的几何性质 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相交、相切和相离． 设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)位置关系判定方法：方程法 联立： 列式： 消元： k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0. 交于1点 交于2点 切于1点 0个公共点 三、题型与方法 题型一 抛物线性质的应用 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 三、题型与方法 题型一 抛物线性质的应用 [跟踪训练]1 已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围； [跟踪训练]1 已知抛物线y2＝8x.(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长． 三、题型与方法 题型一 抛物线性质的应用 三、题型与方法 题型二 直线与抛物线的位置关系 例2.已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． 三、题型与方法 题型二 直线与抛物线的位置关系 例2.已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． 直线与抛物线交点问题的解题思路 (1)判断直线与抛物线的交点个数步骤：“联立、消元、列式”， 利用判别式判断方程解的个数．(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形： ①直线与抛物线的对称轴重合或平行； ②直线与抛物线相切． 三、题型与方法 题型二 直线与抛物线的位置关系 [跟踪训练]2若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB. 三、题型与方法 题型三 中点弦及弦长公式 例3.斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于两点A、B， 求焦点弦AB的长． 解法1 ： 抛物线的焦点F(1 , 0), 直线AB：