3.2.2双曲线的简单几何性质（第1课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.掌握双曲线的简单几何性质． 第 3 章圆锥曲线的方程 3.2.2 双曲线的简单几何性质（第1课时） 学习目标 2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义． 3.掌握 双曲线“定义、图像、方程、性质”之间相互转化的方法. 双曲线的定义及标准方程 标准方程 图 形 焦点坐标 双曲线定义 a、b、c 的关系 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹． 一.回顾与探究 类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质? 如何研究这些性质? x F1 F2 y O M(x,y) F1 F2 O x y A1 A2 B1 B2 • • 椭圆的简单几何性质：①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率 本节，我们将类比椭圆研究双曲线性质 一.回顾与探究 3 类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是x≤-a，或x≥a,纵坐标的范围是y∈R (图3.2-7). 一、范围 二.双曲线的几何性质 4 由图可知,椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形. 二、对称性 二.双曲线的几何性质 5 三、顶点：几何上，我们把图形的对称轴与图形的交点叫顶点。 双曲线与x轴的交点为A1(-a，0)和A2(a，0)，它们叫做双曲线的顶点. 双曲线与y轴没有交点，但我们仍把B1(0，-b)和B2(0，b)画在y轴上. 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做双曲线的实半轴长； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长. 二.双曲线的几何性质 椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度， 双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征? 用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗?它与用离心率刻画“张口”大小有什么联系和区别? 四、离心率 二.双曲线的几何性质 提示： 7 双曲线的两支向外延伸时，与矩形的两条对角线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线. 五、渐近线 如图，直线x=a和直线y=b 围成了一个矩形，矩形的两条对角线的方程是什么？ 这时，四条直线x =±a，y =±b围成正方形，渐近线方程为 y=±x ，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 二.双曲线的几何性质 双曲线标准方程： 双曲线性质： 1、范围： y≥a或y≤-a 2、对称性： 关于x轴，y轴，原点对称。 3、顶点： B1(0,-a), B2(0,-a) 4、对称轴： 5、渐近线方程： 6、离心率： 实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2 探究：焦点在y轴上的双曲线的几何性质都有什么？　 二.双曲线的几何性质 （e>1 ） (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值. (3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质. 二.双曲线的几何性质 归纳总结： 1.知识要点： 以“定义↔图像↔方程↔性质”为基本线索，以“定义、图像、方程、性质”为基本内容，以它们之间的相互转化为基本能力； 2.性质归纳： （1）四类点：中心、焦点、顶点、虚轴端点； （2）四类线：实轴、虚轴、渐近线、准线； （3）五个基本量及其关系：a,b,c,e,p 3.由双曲线的方程研究其几何性质的注意点: 三.题型与方法 题型一 问题辨析 √ × × × √ 注意： （1）共轭双曲线；等轴双曲线；共渐近线双曲线等概念及其性质； （2）离心率及取值范围； （3）顶点与虚轴端点；实轴长与a；虚轴长与b；双曲线与其渐近线的相互关系等。 三.题型与方法 题型二 根据双曲线方程研究几何性质 例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 三.题型与方法 题型二 根据双曲线方程研究几何性质 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式；(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质． 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置． [跟踪训练]1求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 三.题型与方法 题型三 由几何性质求双曲线的标准方程 三.题型与方法 题型三 由几何性质求双曲线的标准方程 1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路：由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法． 当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论； 为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)． 方法总结： 三.题型与方法 题型三 由几何性质求双曲线的标准方程 2．常见双曲线方程的设