3.1.1椭圆及其标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第 3 章圆锥曲线的方程 3.1.1 椭圆及其标准方程 1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点) 2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点) 3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 学习目标 1 我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆. 如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢? 如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线. 我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线. 椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。 问题背景与思考 2 一、椭圆的定义 探究 取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一点, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 这时笔尖(动点)画出的轨迹是 一个圆. 如果把细绳的两端拉开一段距离, 分别固定在图板的两点F1, F2, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 画出的轨迹是什么曲线? 在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么? 通过动画演示可知，画出的轨迹是椭圆. 在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是： 移动的笔尖M(动点)到固定在图板上的两定点F1, F2的距离 之和是定值, 并且这个定值大于两定点间的距离，即 由此可得椭圆的定义. 3 一、椭圆的定义 平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离| F1F2|叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距. 椭圆的定义: 思考 动点的轨迹是椭圆应满足什么条件？ ② 动点M到两个定点F1, F2的距离之和是常数； 动点M的轨迹是线段F1F2 ； 动点M没有轨迹 . ① 在平面内----(这是前提条件)； 当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时： 当|MF1|+|MF2|<|F1F2|时： 4 一、椭圆的定义 椭圆的定义集合表示: 椭圆的光学性质：从F1（F2）发出的光线，经椭圆反射后聚焦于点F2（F1）. 定义中的“常数”通常用2a表示，焦距用2c表示，故2a>2c>0，即a>c>0, 因此，椭圆的定义可以用集合表示为： ｛M||MF1|+|MF2|=2a｝,其中|F1F2|=2c，a>c>0 (1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是什么? (2)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为6,则M点的轨迹是什么? (3)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为5,则M点的轨迹是什么? 椭圆 线段AB 不存在 椭圆定义的限制条件：|MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|=2c>0 5 F1 F2 M • • x y O 如图示, 建立平面直角坐标系.设M(x,y)是椭圆上任一点, 椭圆的焦距为2c(c>0), M与F1, F2的距离的和等于常数2a(a>0), 则 (x,y) 由定义知： 化简整理得 由椭圆定义知： 为了使方程形式更简单： ① 我们把方程①叫做椭圆的标准方程. 二. 椭圆的标准方程 上式两边同除以a2(a2-c2)得 设a2-c2=b2(b>0),则方程形式变为 二. 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程:如图示, 若椭圆的焦点在x轴上, 则椭 圆的标准方程为 其中焦点坐标为F1(－c,0), F2(c,0), c2＝a2－b2. F1 F2 M • • x y O (x,y) 思考1 观察图, 你能从中找出表示a,b,c的线段吗？ F1 F2 P • • x y O 由图可知， a b c 7 思考2 如图示, 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0,－c), (0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么? (焦点在x轴上) (焦点在y轴上) 二. 椭圆的标准方程 定义 焦点位置 图形 方程 特点 共同点 不同点 F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O 焦点在x轴上 焦点在y轴上 a>b>0,且a2=b2+c2 焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0) 方程中的a2是x2的分母 焦点坐标F1(0,-c),F2(0,c) 方程中的a2是y2的分母 二. 椭圆的标准方程 解1: (定义法) 由于椭圆的焦点在x轴上，且关于O（0，0）对称，故可设椭圆