2.4.2 圆的一般方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第 2 章直线和圆的方程 2.4.2圆的一般方程 学习目标 1.理解圆的一般方程及其特点 2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化 3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题 1.圆的标准方程: 特征：几何意义明显，可直接从方程中获知圆心和半径 圆心 半径 反之，已知圆心和半径，可直接写出圆的标准方程 已知圆心（-2，3），半径r=5，则圆的标准方程： (x+2)2+(x-3)2=25 （1，-2） （-2，2） （-a，2） |a| 2.直线方程四种特殊形式及一般形式: 特殊形式 一般形式 （1）点斜式： （2）斜截式： （3）两点式： （4）截距式： Ax+By+C=0（A,B不全为0） 几何特征明显 代数特征明显 3 .点与圆的位置关系: 位置关系 几何方法 代数方法 点在圆上 点在圆外 点在圆内 d=r d<r d>r (x-a)2+(y-b)2<r2 (x-a)2+(y-b)2>r2 (x-a)2+(y-b)2=r2 (d为定点与圆心的距离，r为半径) 注：数形结合是解析几何的基本思想，用代数方法研究几何问题是解析几何的主要方法 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 思考：类比直线方程的一般形式，圆的方程具有怎样的代数结构特征？反之，具有什么特征的方程可以表示圆？ 圆的一般方程 探究：把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开， 得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0 由于a, b, r均为常数 结论：任何一个圆方程可以写成下面形式 令-2a=D, -2b=E, a2+b2-r2=F x2+y2+Dx+Ey+F=0 思考：是不是任何一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0 方程表示的曲线都是圆呢？ 实例：下列方程表示什么图形？ （1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x+4y+5=0； （3）x2+y2-2x+4y+6=0. (x-1)2+(y+2)2=4 (x-1)2+(y+2)2=0 (x-1)2+(y+2)2=-1 圆心（1，-2），半径r=2的圆 点（1，-2） 不表示任何图形（虚圆） 圆的一般方程： 说明： 圆的方程是关于x,y的二元二次方程：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0, 且具有如下特点： 圆的标准方程与圆的一般方程之间的关系： 圆的标准方程： 圆的一般方程： 几种特殊情形的圆： 易于看出圆心与半径. 突出代数结构特点. D=0 E=0 F=0 题型一 圆的一般方程的认识 例1 若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________． [跟踪训练]1下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长．①x2＋y2－4x＝0；②2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；③x2＋y2＋2ax＝0. 注意：判断方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆，关键是将其配方，最后转化为判断△=D2＋E2－4F的正负问题． (－∞，1) ①表示圆，圆心为C(2,0)，半径r＝2. ②不表示任何图形． ③当a＝0时，方程表示点(0,0)，不表示圆；当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，|a|为半径的圆． 题型二 求圆的一般方程 例2 已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． 解法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C在圆上， ∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 题型二 求圆的一般方程 例2 已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC. ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，∴外心是线段BC的中点， ∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 注意：确定圆的方程的主要方法是待定系数法及几何法； (1)根据题意，设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组；(3)解方程组，求出D，E，F的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程 题型二 求圆的一般方程 又∵圆心在第二象限，∴D=2,E=-4， 故圆的方程x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 题型三 与圆有关的轨迹问题 例3 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的