2.4.1圆的标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第 2 章直线和圆的方程 2.4.1圆的标准方程 学习目标 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点) 2.会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点) 3.能准确判断点与圆的位置关系．(易错点) 思考1：圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？ 各要素与圆有怎样的关系？ 定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆， 定点称为圆心，定长称为圆的半径. 确定圆的因素：圆心C和半径r。 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. ｛M||CM|=r｝（其中r>0为定值） 圆的轨迹定义：平面内到定点C的距离为定值r的动点M的轨迹是圆。 思考2:已知圆心为A(a,b),半径为r你能推导出圆的方程吗？ 类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑在圆所在的平面内建立直角坐标系，并给出确定一个圆的几何要素圆心的坐标及圆的半径的大小． 即建立圆上任意一点的坐标应满足的关系式，此关系式就是圆的方程． 则|AM|=r， 两边平方，得 思考3 .是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？ 即在⊙A和方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间是否同时满足下面两个条件： （1）点M在⊙A上，则M的坐标满足方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2； （2）点M的坐标满足方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点M在⊙A上。 因此，称方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2为⊙A的方程。 思考4.为什么称方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2为⊙A的标准方程？ 圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 圆的几何要素:圆心（a,b）,半径r 因方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的结构的对称性，及明显的几何意义，故此称之为圆的标准方程。 三个独立条件a,b,r确定一个圆的方程. 特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为： 练一练 1 .(口答) 说出下列圆的圆心及半径 （5）x2 + y2  4x + 10y + 28 = 0 （6）(x  a)2 + y 2 = m2 （7） x 2 + (y+3a) 2 = -4m (m<0) 2 .写出下列圆的方程 （5）圆心C(2， 5), r = 1 （6）圆心C(a, 0),r=|m| ,m ≠0 求点M的轨迹方程方法： 建：建立坐标系 设：用坐标表示有关的量 限：限制条件 代：进行有关代数运算 化：化简 注：这也是求轨迹方程的步骤！称此法为求轨迹方程的“五步法”或“直译法”！ 示例： 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？ 问题：写出圆心为，半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上？ |AM|=r 探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？ |AM|<r |AM|>r |AM|=r 练一练 1.点P(-2,-2)和圆x2+y2=4的位置关系是(　　) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都不对 解析:将点P的坐标代入圆的方程,则(-2)2+(-2)2=8>4,故点P在圆外. 2.已知点M(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围是　 　.  B [0,1) 题型一　求圆的标准方程 例1 . △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2, -8) , 求△ABC的外接圆的标准方程. 解: 设所求的方程是 三式两两相减 , 消去a2, b2, r2得 所以,r2=25 △ABC的外接圆的标准方程是 题型一　求圆的标准方程 例1 . △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2, -8) , 求△ABC的外接圆的标准方程. 解:由A , B 两点的坐标为(5 , 1) , (7, -3)可得线段AB的中点D(6, -1) , 直线 AB的斜率为 因此, 线段AB的垂直平分线l1的方程是 同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 得圆心C的坐标(2 , -3),半径r=5 所以 , 圆的标准方程是 题型一　求圆的标准方程 例2. 已知圆心为C的圆经过A(1, 1), B(2, -2)两点, 且圆心C在 直线l: x-y+1=0上 , 求此圆的标准方程 . 解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l : x-y+1=0上 , 所以 a-b+1=0 (1) 因为A, B是圆上两点 , 所以|CA|=|CB| . 根据两点间距离公式 , 有 由(1)(2)两式可得 a=-3, b=-2 . 圆的半径 所以 , 圆的标准方程是 例2