2.3.3点到直线的距离+2.3.4两平行线间的距离课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.3 点到直线的距离公式2.3.4 两条平行线间距离 1.了解点到直线距离公式的推导方法．(重点) 2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．(难点) 3.初步掌握用解析法研究几何问题．(重点、难点) 学习目标 探究：根据点到直线的距离定义，求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出|PQ|，就可以得到点P到直线l的距离. 思考：如图，已知点P(x0,y0)，直线l:Ax+By+C=0，如何求点P到直线l的距离？ 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度.其中Q是垂足(如图) 方法二：用设而不求法推导 设垂足Q的坐标为（x, y），则 方法三：向量法 因为M（x, y）在直线 l 上，所以 Ax + By + C=0, 所以 Ax + By =-C 方法三：向量法 如图：由直角三角形RPS的面积公式可得： 代入可得点到直线的距离公式： 点到直线的距离公式特点： ①分子是P点代入直线方程； ②分母是直线未知数x, y系数平方和的算术跟； ③运用此公式时要注意直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式； ④当点P0在直线上时，点P0到该直线的距离为0，公式仍然适用。 ⑤直线方程 Ax +By + C=0中，A=0或B=0公式也成立。但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可以用数形结合求解. 点到直线的距离公式几种特殊情形： 两平行线间的距离公式： (1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间 的距离 （3）推导：即点P到直线l2的距离 因点P在直线l1上，所以Ax1＋By1＋C1＝0，即Ax1＋By1=-C1 ，代入即证。 注意：两直线方程中x,y的系数对应相等 题型一　点到直线的距离 注意：应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 题型二　两平行线间的距离 例2 两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________． 例3 直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1到l2的距离为5，求l1，l2的方程． 注意：求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式， 但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等． [跟踪训练]2 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的 直线方程． [解]　设与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，根据两平行直线间的距离为3，解得b＝45或b＝－33.所以所求直线方程为：5x－12y＋45＝0，或5x－12y－33＝0. (2)若l1，l2的斜率不存在，则l1：x＝0，l2：x＝5满足条件． 综上，l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5. 题型三　距离公式的综合应用 例4 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． 题型三　距离公式的综合应用 综上：另三边为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0. 例4 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． 题型三　距离公式的综合应用 [跟踪训练] 3 求过点(3，5)的所有直线中，距原点最远的直线方程． 故所求直线方程为：3x＋5y－34＝0. (2)两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离： 注意：（1）应用点到直线距离公式要求直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式. （2）应用两平行线间的距离公式要求两直线方程中x,y的系数对应相等 知识要点： 【当堂达标】 答案：C 答案：C 答案：A 4．已知两点A(－3，－2)和B(－1，4)到直线x＋ay＋1＝0的距离相等，则实数a为________． 5．已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，求直线l的方程． 【当堂达标】 $$