2.2.3直线的一般式方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.2.3直线的一般式方程 学习目标 1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系. 2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化. 3.能运用直线的一般式方程解决有关问题． 思考 上述四种直线方程都是一个怎样的方程？能否写成统一的形式？ 形式 条件 直线方程 应用范围 点斜式 直线过点(x0, y0), 且斜率为k 斜截式 在y轴上的截距为b, 且斜率为k 两点式 过点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2) 截距式 过点P1(a,0), P2(0,b) (其中a≠0, b≠0) 不含与x轴垂直的直线 不含与x轴垂直的直线 不含与x, y轴垂直的直线 不含过原点和与x, y轴垂直的直线 都是关于x, y的二元一次方程 思考 (1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x, y的二元一次方程表示吗? (2)任意一个关于x, y的二元一次方程都表示一条直线吗? 因此, 在平面直角坐标系中, 对于任何一条直线, 其方程都可以表示成形如Ax+By+C=0的的二元一次方程. 探究：先看问题(1), 在平面直角坐标系中, 每一条直线都有倾斜角. 即 kx-y+b=0. 这是关于x,y二元一次方程, 若设A=k, B =-1, C=b, 则方程形式可写成 当α≠90°时, 直线方程可写成 y=kx+b, 当α=90°时, 直线方程可写成 x=x1, 即x-x1=0. 这也是关于x,y二元一次方程, 若设A=1, B =0, C=-x1, 则方程形式也可写成 Ax+By+C=0. Ax+By+C=0. 思考 (2)任意一个关于x, y的二元一次方程都表示一条直线吗? 由上可知, 关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线. 探究：对于问题(2), 任意一个二元一次方程Ax+By+C=0 (A, B不同时为0), 如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示条直线. 当B ≠ 0时, 方程Ax+By+C=0可变形为 当B=0时, A≠0, 方程Ax+By+C=0可变形为 综上可知, 在平面直角坐标系中, 任何关于x, y的二元一次方程Ax+By +C=0都表示一条直线. 探究 在方程Ax+By +C=0中, A,B,C为何值时, 方程表示的直线： ①平行于x轴；②平行于y轴；③与x轴重合；④与y轴重合. 我们把关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A, B不同时为0)叫做直线的一般式方程, 简称一般式. 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系： 直线的一般式代数特征明显，而直线方程的四种特殊形式具有比较明显的几何意义； 直线的一般式Ax+By +C=0通常化为斜截式以获取直线的几何特征如斜率、截距等； 直线方程通常用一般式表示，直线的四种特殊形式化为一般式的规范要求：先x项，再y项，最后常数项；A、B、C尽可能整数化，A>0; 题型一　直线的一般式方程与其他形式转化 注意：对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式． 题型一　直线的一般式方程与其他形式转化 4x－y－2＝0 2x＋y－3＝0 x＋3y＋3＝0 (2)y＝4x－2 题型一　直线的一般式方程与其他形式转化 答案：D 题型二　直线的一般式方程的应用 1.已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤 题型二　直线的一般式方程的应用 2．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 3．过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 (1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程． (2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0. 例3 （由含参数的一般式求参数的值或取值范围）(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．(2)已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线．当m＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m＝____________时，直线在x轴上的截距为1. 例4（一般式下直线的平行与垂直