2.2基本不等式 常见题型总结-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式常见题型总结 题型一：基本不等式的理解 1．在不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是(　　) A．a＝4 B．a＝ C．a＝－ D．a＝± 2．下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 3.设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a＜b＜＜　　　　 B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D．＜a＜＜b 4.若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2 C．＋＞ D．＋≥2 5．下列不等式正确的是(　　) A．a＋≥2 B．(－a)＋≤－2 C．a2＋≥2 D．(－a)2＋≤－2 6．(多选)下列条件中，能使＋≥2成立的是(　　) A．ab>0 B．ab<0 C．a>0，b>0 D．a<0，b<0 7．已知a>0，b>0，且ab＝2，那么(　　) A．a＋b≥4 B．a＋b≤4 C．a2＋b2≥4 D．a2＋b2≤4 8．下列各式中最小值为2的是(　　) A．y＝t＋(t>1) B．y＝＋ C．y＝t＋(t>1) D．y＝t＋＋1(t>0) 9.(多选)下列说法正确的是(　　) A．对∀a，b∈R，≥成立 B．若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2 C．对∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab D．若x>2，则x＋≥2中可以取等号 10.(多选)下面四个推导过程正确的有(　　) A．若a，b为正实数，则＋≥2＝2 B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4 C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2＝－2 D．若a<0，b<0，则<ab 11.(多选)已知a，b∈R，且ab>0，则下列不等式成立的是(　　) A.≥ B．ab≤ C.＋≥2 D.≤ 12．(多选)下列不等式中正确的是(　　) A．a2＋1>2a B.≥2 C.≤2 D．x2＋≥1 题型二 利用基本不等式证明不等式 1.设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋，证明：a＋b≥2. 2.已知a，b，c为不全相等的正实数． 求证：a＋b＋c＞＋＋. 3.已知a，b都是正数，求证：≤≤≤. 4.已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1. 求证：≥8. 5.已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9. 6.已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 题型三 利用基本不等式求简单式子的最值 1.已知x<0，则x＋－2有(　　) A．最大值0 B．最小值0 C．最大值－4 D．最小值－4 2.设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是(　　) A．400 B．100 C．40 D．20 3．设x>0，则3－3x－的最大值是(　　) A．3 B．3－2 C．－1 D．3－2 4.函数y＝x＋(x<2)的最大值是(　　) A．4 B．5 C．－2 D．2 5.已知a>0，b>0，a＋2b＝4，则ab的最大值是(　　) A. B．2 C．2 D．4 6.已知正数a，b满足ab＝8，则a＋2b取得最小值时a，b的值分别为(　　) A．2,2 B．2,4 C．4,4 D．4,2 7．下列结论正确的是(　　) A．当x>0且x≠1时，x＋≥2 B．当x>0时，＋≥2 C．当x≠0时，x＋的最小值为2 D．当x>0时，x＋的最小值为2 8.已知y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a的值为__________． 9.已知0<x<，则y＝x(1－2x)的最大值为 ______. 10.已知x>0，则函数y＝4x＋的最小值为________． 11.已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________. 12.已知x>，则函数y＝x－1＋的最小值为________． 13.的最小值为________． 14.已知x>0，求x＋的最小值． 15.当x<0时，求x＋的最大值． 16．当x>1时，求x＋的最小值． 17.已知x>3，求＋x的最小值． 18．(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值； (2)已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值． 题型四 利用基本不等式求有条件的最值 1．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　) A. B．4 C. D．5 2．若正实数x，y满足xy＋3x＝3，则12x＋y的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 3．已知x，y是正数且x＋y＝1，则＋的最小值为(　　) A. B. C．2 D．3 4.若x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是(　　) A．3 B．6