第一章 习题课　空间向量应用的综合问题 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

习题课　空间向量应用的综合问题 第一章　 空间向量与立体几何 通过对空间向量的学习，能熟练利用空间向量求点、线、面间的距离、空间角及解决有关探索性问题. 学习目标 课时对点练 一、利用空间向量求空间角 二、利用空间向量求距离 三、利用空间向量解决探索性问题 内容索引 一、利用空间向量求空间角 例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝ AB＝4. (1)求证：M为PB的中点； 证明　如图，设AC，BD的交点为E，连接ME. ∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PDB，平面MAC∩平面PDB＝ME， ∴PD∥ME. ∵四边形ABCD是正方形， ∴E为BD的中点.∴M为PB的中点. (2)求平面BPD与平面APD的夹角； 解　取AD的中点O，连接OP，OE. ∵PA＝PD，∴OP⊥AD. 又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，OP⊂平面PAD， ∴OP⊥平面ABCD. ∵OE⊂平面ABCD，∴OP⊥OE. ∵底面ABCD是正方形，∴OE⊥AD. 又平面PAD的一个法向量为p＝(0,1,0)， ∴平面BPD与平面APD的夹角为60°. (3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值. 设直线MC与平面BDP所成角为α， 反思感悟　运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤： (1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论. 跟踪训练1　如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABEF为正方形，AF⊥DF，AF＝ ∠DFE＝∠CEF＝45°. (1)求异面直线BC，DF所成角的大小； 解　因为四边形ABEF为正方形，AF⊥DF， 所以AF⊥平面DCEF. 又∠DFE＝∠CEF＝45°， 所以，在平面DCEF内作DO⊥EF，垂足为点O， 以O为坐标原点，OF所在的直线为x轴， OD所在的直线为z轴建立空间直角坐标系(如图所示). ∴D(0,0，a)，F(a,0,0)，B(－3a,4a,0)，C(－2a,0，a). (2)求平面BDE与平面BEC所成角的余弦值. 设平面DBE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 取x1＝1得平面DBE的一个法向量为n1＝(1,0，－3)， 设平面CBE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 取x2＝1得平面CBE的一个法向量为n2＝(1,0，－1)， 设平面BDE与平面BEC的夹角为θ， 二、利用空间向量求距离 例2　已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离. 解　建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则G(0,0,2)，E(4，－2，0)，F(2，－4,0)，B(4,0,0)， 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z). ∴x＝－y，z＝－3y. 取y＝1，则n＝(－1,1，－3). 解　如图，取CD的中点O，连接OB，OM， 因为△BCD与△MCD均为正三角形， 所以OB⊥CD，OM⊥CD， 又平面MCD⊥平面BCD，平面MCD∩平面BCD＝CD， OM⊂平面MCD， 所以MO⊥平面BCD. 以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz. 因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形， 设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)， 三、利用空间向量解决探索性问题 (1)取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB； 证明　取BC的中点E，连接DE，交AC于点O， 连接ON，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－1,0)，B(2，－1,0)，C(0,1,0)，D(－1,0,0)，P(0，－1,2). ∵点N为PC的中点，∴N(0,0,1)， 设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)， 可得n＝(0,1,0)， 又∵DN⊄平面PAB，∴DN∥平面PAB. (2)求直线AC与PD所成角的余弦值； 设直线AC与PD所成的角为θ， (3)在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由. 设平面ACM的一个法向量为m＝(a，b，c)， 可得m＝(2－2λ，0，λ)， 由图知平面ACD的一个法向量为u＝(0,0,1)， 设BM与平面MAC所成的角为φ， ∴φ＝30°. 故存在点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°，此时BM与平面MAC所成的角为30°. 反思感悟　(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当条件，据此