第一章 §1.4 1.4.2 第2课时　夹角问题 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2课时　夹角问题 第一章　 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 1.会用向量法求线线、线面、面面夹角. 2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系. 学习目标 地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26′.黄道面与地球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座， 导语 称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等等，这便是星座的由来. 随堂演练 课时对点练 一、两异面直线所成的角 二、直线和平面所成的角 三、两个平面的夹角 内容索引 一、两异面直线所成的角 设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝ |cos〈u，v〉|＝ . 知识梳理 例1　如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱长为b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求异面直线BD1和AC所成角的余弦值. ＝0＋a2＋abcos 120°＋abcos 120°－a2－0＝－ab. 反思感悟　求异面直线夹角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量. (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值. (3)得出两条异面直线所成的角. 跟踪训练1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为 √ 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)， 二、直线和平面所成的角 注意点： (1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角. (2)线面角的范围为 (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角. 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u， 平面α的法向量为n，则sin θ＝ ＝ . |cos〈u，n〉| 知识梳理 例2　如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝ N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点. (1)证明：CM⊥SN； 证明　设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(如图). 则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)， (2)求SN与平面CMN所成角的大小. 设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量， 设SN与平面CMN所成的角为θ， 反思感悟　利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的方向向量u. (3)求平面的法向量n. 跟踪训练2　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点.求A1B与平面AEF所成角的正弦值. 解　以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)， 设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)， 令a＝1可得n＝(1，－1,2). 设A1B与平面AEF所成角为θ， 三、两个平面的夹角 问题1　两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？ 提示　平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 问题2　平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？ 提示　两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角. 设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝ |cos〈n1，n2〉|＝ ＝ . 知识梳理 注意点： (1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题. (2)两平面的夹角的范围是 (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念. 例3　如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明：O1O⊥平面ABCD； 证明　因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形， 所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD， 所以O1O⊥平面ABCD. (2)若∠CBA＝60°，