第一章 §1.4 1.4.1 第3课时　空间中直线、平面的垂直

第3课时　空间中直线、平面的垂直 第一章　 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系. 学习目标 在上一节中，我们可以用向量来表示空间中直线、平面之间的平行关系，当直线、平面垂直时如何用向量表示呢？ 导语 随堂演练 课时对点练 一、直线和直线垂直 二、直线与平面垂直 三、平面与平面垂直 内容索引 一、直线和直线垂直 问题1　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ 提示　垂直. 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔ ⇔ . 注意点： (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直. (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. u1⊥u2 u1·u2＝0 知识梳理 例1　如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝ CC1.求证：AB1⊥MN. 则由已知条件和正三棱柱的性质， 方法二　设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得 ∵M为BC的中点， ∴AB1⊥MN. 反思感悟　证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. 跟踪训练1　如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点.求证：EF⊥BC. 证明　由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 二、直线与平面垂直 问题2　如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直平面α时，u，n之间有什么关系？ 提示　平行(共线). 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔ ⇔ ∃λ∈R，使得 . 注意点 (1)若证明线面垂直，即证明直线的方向向量与平面的法向量平行. u∥n u＝λn 知识梳理 (2)证明线面垂直的方法： ①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论. ②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论. ③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论. 例2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC. 证明　设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)， E(2,2,1)，F(1,1,2). 设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)， 令x＝1得n＝(1,1，－1)， ∴EF⊥平面B1AC. 反思感悟　证明直线与平面垂直的方法： (1)选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明. (2)建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的. 跟踪训练2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点.求证：EF⊥平面PAB. 证明　以D为坐标原点，DC，DA，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设DA＝1，E(a,0,0)，其中a＞0， 则C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)， 所以EF⊥PB，EF⊥AB. 又PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PB∩AB＝B， 所以EF⊥平面PAB. 三、平面与平面垂直 问题3　设n1，n2分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直平面β时，n1，n2之间有什么关系？ 提示　垂直. 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔ ⇔ . 注意点： (1)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直. (2)利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径： 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，