第一章 §1.4 1.4.1 第2课时　空间中直线、平面的平行

第2课时　空间中直线、平面的平行 第一章　 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系. 学习目标 观察图片，旗杆底部的平台和地面平行，旗杆所在的直线和护旗战士所在的直线平行.旗杆所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向量有什么关系？ 导语 随堂演练 课时对点练 一、直线和直线平行 二、直线和平面平行 三、平面和平面平行 内容索引 一、直线和直线平行 问题1　由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？ 提示　平行. 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔ ⇔∃λ∈R，使得u1＝ . 注意点： (1)此处不考虑线线重合的情况. (2)证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明. ②建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示. u1∥u2 λu2 知识梳理 例1　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS. 证明　方法一　如图所示，建立空间直角坐标系， 所以MN∥RS. 又R∉MN， 所以MN∥RS. 反思感悟　利用向量证明线线平行的思路 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可. 跟踪训练1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形. 证明　以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 又∵F∉AE，F∉EC1， ∴AE∥FC1，EC1∥AF， ∴四边形AEC1F是平行四边形. 二、直线和平面平行 问题2　观察下图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？ 提示　垂直 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u n⇔ . 注意点： (1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)特别强调直线在平面外. ⊥ u·n＝0 知识梳理 例2　在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 证明　如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a. 连接AC，交BD于点G，连接EG， 方法一　设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 所以n⊥ . 又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. 方法二　因为四边形ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 所以PA∥平面EDB. 延伸探究　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝ 问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不存在，请说明理由. 解　分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图. 则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0). 假设在棱PD上存在符合题意的点E， ∴－y－2(z－1)＝0. ① ∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0. ∴E是PD的中点，即存在点E为PD的中点时，CE∥平面PAB. 反思感悟　利用空间向量证明线面平行一般有三种方法： (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证. (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 跟踪训练2　在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG. 证明　∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB， ∴EF⊥AE，EF⊥BE. 又∵AE⊥EB， ∴EB，EF，EA两两垂直. 以点E为坐标原点，EB，EF，EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)， 设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)， 令y＝1，