22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质 教学设计 2023—2024学年人教版数学九年级上册

备课时间

授课时间

主  备

通力嘎

课    题

22.1.2　二次函数y=ax2的图象和性质

课  型

新授课

教学目标

通过画图，了解二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是y轴，开口方向为何向上(或向下)，掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题。

教学重点

从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数y＝ax2的性质，掌握二次函数解析式y＝ax2与函数图象的内在关系。

教学难点

画二次函数y＝ax2的图象。

教学方法

讲练结合

多媒体

希沃课件及展台

教     学     设     计

教  学  环  节

师生活动

设计意图

二次备课

一、复习引入

1.同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?

(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)

2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?

(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)

3.一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?

二、新知探究

例1.画二次函数y=x2的图象。

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：

(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点

(3)连线：用平滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。

提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?

小结：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。

抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。

顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．

例2．

（1）在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?

（2）在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?

（3）将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?区别与联系：两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。

学生根据教师提问，展开思考，回顾旧知。

教师层层递进问题，逐渐引导学生运用类比的思路来研究二次函数的图象及性质。

学生画图、观察，思考、讨论、交流。

教师引导学生从形状、开口方向、对称轴、顶点坐标几个方向对所画图像进行特征描述。

学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个

类比思想的运用，有助于为学生建立探究新知的自信心。

让学生通过画图感悟二次函数的图象特征，从而获得相关性质。

通过观察、分析、归纳，让学生体会二次函数的特征，充分体会数形结合的思想方

三、总结性质

函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜想：

函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。

如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么?

观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；

当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。

图象的这些特点反映了函数的什么性质?

观察下图，回答以下问题；

(1)XA、XB大小关系如何?是否都小于0？

(2)yA、yB大小关系如何?

(3)XC、XD大小关系如何?是否都大于0?

(4)yC、yD大小关系如何?

(XA<XB，且XA<0，XB<0；yA>yB；XC<XD，且XC>0，XD>0，yC<yD)

当X<0时，函数值y随着x的增大而______，

当X>O时，函数值y随X的增大而______；

当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______

以上结论就是当a>0时，函数y=ax2的性质。

思考以下问题：

观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a<O时，抛物线y＝ax2有些什么特点?它反映了当a<O时，函数y=ax2具有哪些性质?

结论：

函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识。

学生归纳总结，初步感知二次函数y＝ax2的特征。

教师适时引导、完善。

学生观察思考问题，尝试回答。

教师引导分析过程。

法。

增强学生归纳概括能力和表达能力，培养良好的学习习惯。

及时深入挖掘抛物线的性质，有利于学生从不同侧面把握课本所学内容。