第三章 幂、指数与对数（压轴题专练）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第一册）

第三章 幂、指数与对数（压轴题专练） 一、单选题 1. 若则(    ) A. B. C. D. 2. 我国著名数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的代数学是一部介绍西方符号代数的数学著作，代数学中多处使用汉语化的表现形式表达数学运算法则，如用“”来表示“”，用“甲乙甲三甲乙三甲乙乙”来表示“”那么下列表述中所有正确的序号是(    ) “”表示“”； “”表示“” “甲乙甲二甲乙乙”表示“” A. B. C. D. 二、解答题 3. 若，是方程的两个实根，求的值． 4. 已知，，均为正数，且，求证：； 若，，求的值．   5. 已知，，是不等于的正数，且，，求； 已知，且，求． 6. 已知，，均为正数，且． 若，求实数的值 求证：． 7. 当且时，判断与的大小，并给出证明． 8. 已知， 分别求和； 若，且，求． 9. 已知，，为正数，，． 求的值； 求证： ． 10. 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无穷；没有运算，数就只是一个符号．对数运算与指数运算是两类重要的运算．对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．一个自然数数位的个数，叫做位数．例如：，所以的位数是；，所以的位数是． 试判断和的位数，并说明理由；若的位数是，试求出的所有可能取值．本题参考数据：， 11. 数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． 试利用对数运算性质计算的值； 已知，，为正数，若，求的值． 定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数试判断的位数注 12. 已知，且． 求的值； 若，解关于的不等式：其中． 13. 设，，均是正数， 若，求的值； 若，求的值． 14. 声音通过空气的振动所产生的压强叫声压强，简称声压，单位为帕把声压的有效值取对数来表示声音的强弱，这种表示声音强弱的数值叫声压级．声压级以符号表示，单位为分贝，公式为：声压级，式中为待测声压的有效值，为参考声压，在空气中参考声压一般取值根据上述材料，回答下列问题． 若某两人小声交谈时的声压有效值，求其声压级； 已知某班开主题班会，测量到教室内最高声压级达到，求此时该班教室内声压的有效值． 15. 设． 求和的值； 若把使为整数的正整数称为期盼数，试求的期盼数． 16. 计算：； 若，分别是方程的两个实根，求的值． 17. 已知，且求证：． 18. 已知是的七次方根，求的值． 19. 已知，． 求的值； 、、、均为正实数，若函数且，且，求的值． 20. 利用如果，是大于的自然数，那么的结论证明： 如果，是正有理数，那么 如果，是正有理数，那么， 如果，，且与均为有理数，那么． 21. 证明：． 已知，且求证：． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 幂、指数与对数（压轴题专练） 一、单选题 1. 若则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解决本题的关键． 将已知等式两边平方，利用完全平方公式化简求出的值，原式分子分母除以变形后，将代入计算即可． 【解答】 解： 两边平方得， 即， 所以，原式， 故选C． 2. 我国著名数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的代数学是一部介绍西方符号代数的数学著作，代数学中多处使用汉语化的表现形式表达数学运算法则，如用“”来表示“”，用“甲乙甲三甲乙三甲乙乙”来表示“”那么下列表述中所有正确的序号是(    ) “”表示“”； “”表示“” “甲乙甲二甲乙乙”表示“” A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查知识运算，属于中档题． 根据题目信息，结合指数幂的运算及完全平方和的展开式求解即可． 【解答】 解：由题知，“”来表示“”，相当于同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以正确． 由“甲乙甲三甲乙三甲乙乙”来表示“”可知是加法，所以是完全平方和公式，所以正确． 故选：． 二、解答题 3. 若，是方程的两个实根，求的值． 【答案】解：原方程可化为． 设，则方程化为， 设，为方程的两个实根， 由韦达定理可得，． 又，是方程的两个实根， ，， 即，． ， 即．   【解析】本题考查对数方程的求解，对数的运算性质，换底公式的运用，属于拔高题． 设，将原方程化为，由韦达定理可得，，由已知可得，，代入，利用对数的运算性质可得结果． 4. 已知，，均为正数，且，求证：； 若，，求的值． 【答案】解：设，又，，均为正数，则． 由对数定义得，，， 则 ． 又， ． 由，，得， 于是， 则有，