第三章 幂、指数与对数（3大知识归纳+4大题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第一册）

第三章 幂、指数与对数 （知识归纳+题型突破） 一、 根式 （1）根式的概念 若，则叫做的次方根，其中且. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. （2）的次方根 二、 有理数指数幂 幂的概念 正分数指数幂 负分数指数幂： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 有理数指数幂的性质 三、指数幂的拓展 对任意给定的正数及实数，前述的指数幂的三个运算性质仍然成立，即有 对任意给定的正数及实数，成立 ， ， . 幂的基本不等式： 定理 当，，恒成立. 三、对数 1．对数的概念： 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，其中叫做对数的底数，叫做真数. 【注意】负数和零没有对数，即. ②底数的限制：且. 2．指数与对数的互化 幂底数 ←→ 对数底数 指数 ←→ 对数 幂 ←→ 真数 3．对数的形式 ①常用对数：以10为底的对数，简记为.   ②自然对数：以无理数=2. 71828…为底的对数，简记为.   ③一般对数：.   4．对数运算 （1）基本性质 ① 0和负数没有对数，即； ② 1的对数是0，即； ③底数的对数等于1，即； ④对数恒等式：. （2）运算法则 如果，则 ①； ②； ③（）； ④； ⑤. 5．换底公式 若，且，且，，则. 【两个常用推论】 （1） （2）（且） 题型一：幂、指数与对数运算、化简、求值 例1.1 （2022·上海·校考）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： （1）； （2）； （3）； （4）. 例1.2 （2023·上海·校考）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 【巩固练习】 1. （2023·上海·校考）化简：________. 2．（2020·上海·校考）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 题型二：给定指对数式的字母表示，将其他指对数式用字母表示 例2.1（2022·上海虹口·高一期末）已知，则________. 例2.2（1）设，试用含有的代数式表示； （2）设，，试用、表示； （3）设，，试用、表示. 【巩固练习】 1．（2022·上海徐汇·高一期末）若，则用含x的代数式表示为___________. 2．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）已知，，，则______ 3．（2022·上海市延安中学高一期末）已知，，则___________（用a､b表示）. 4.（2020·华东师范大学第一附属中学）设，则用表示（ ）. A． B． C． D． 5. 若，则(    ) A. B. C. D. 题型三：指数幂与乘法公式结合问题 例3 已知，则的值为          ． 【巩固练习】 1. 已知，则(    ) A. B. C. D. 2. 若则(    ) A. B. C. D. 题型四：指、对数运算性质综合应用 例4.1设均为正实数，且，求的最大值. 例4.2已知方程的两个实根分别为、，求的值. 【巩固练习】 1. 若，则的值是________. 2. 如果，那么________. 3. 若正实数、、均不为1，满足，且，则的值为________. 4. 已知，求的值. 5. 设实数，，求的最小值. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 幂、指数与对数 （知识归纳+题型突破） 一、 根式 （1）根式的概念 若，则叫做的次方根，其中且. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. （2）的次方根 二、 有理数指数幂 幂的概念 正分数指数幂 负分数指数幂： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 有理数指数幂的性质 三、指数幂的拓展 对任意给定的正数及实数，前述的指数幂的三个运算性质仍然成立，即有 对任意给定的正数及实数，成立 ， ， . 幂的基本不等式： 定理 当，，恒成立. 三、对数 1．对数的概念： 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，其中叫做对数的底数，叫做真数. 【注意】负数和零没有对数，即. ②底数的限制：且. 2．指数与对数的互化 幂底数 ←→ 对数底数 指数 ←→ 对数 幂 ←→ 真数 3．对数的形式 ①常用对数：以10为底的对数，简记为.   ②自然对数：以无理数=2. 71828…为底的对数，简记为.   ③一般对数：.   4．对数运算 （1）基本性质 ① 0和负数没有对数，即； ② 1的对数是0，即；