3.2.1单调性与最大（小）值第一课时课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

第一课时 3.2.1 单调性与最大（小）值 第三章 函数的概念与性质 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了有趣的数据. 数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”(如图) 1 2 3 t y o 20 40 60 80 记忆的数量(百分数) 天数 100 你能用自然语言描述记忆量y随着时间t的变化而变化的趋势吗？ 在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质，这一性质叫做函数的单调性． 下面进一步用符号语言刻画这种性质． 先研究二次函数 f(x)＝x2 的单调性. 如图，图象在y轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说，当x＜0时，y随x的增大而减小． 用符号语言描述:任意取x1，x2∈(－∞,0］，得到f(x1)＝x12，f(x2)＝x22，那么 当x1＜x2时，有f(x1)>f(x2)． 这时我们就说函数 f(x)＝x2 在区间(－∞,0］上是单调递减的. 如图，图象在y轴右侧部分从左到右是上升的，也就是说，当x>0时，y随x的增大而增大． 用符号语言描述:任意取x1，x2∈[0,+∞)，得到f(x1)＝x12，f(x2)＝x22，那么 当x1＜x2时，有f(x1)＜ f(x2)． 这时我们就说函数 f(x)＝x2 在区间[0,+∞)上是单调递增的. O x y 思考： 函数f(x)＝-x2 和 f(x)＝各有怎样的单调性？ 单调性概念： 对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 当 时, 都有 就说函数 在区间 D上是增函数.这个给定的区间就为单调增区间。 都有 当 时, 就说函数 在区间 D上是减函数.这个给定的区间就为单调减区间。 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间． 思考： 思考： 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是 单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间单调递增但在另 一些区间上单调递减的函数例子吗？ 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -2 -3 2 3 o 例1 根据定义，研究函数 则 ①当k>0时， 于是 ②当k<0时， 于是 函数的单调性 用定义证明函数的单调性的步骤: 1.取数:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方； 4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负； 5.结论:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性. 例2 物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之. 分析：按题意就是证明函数 在区间 上是减函数. 证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则 由V1，V2∈ (0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0, V2- V1 >0 又k>0,于是 所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大. 取值 定号 作差变形 结论 例3 根据定义证明函数 在区间 上单调递增。 证明： 所以，函数 在区间 上单调递增。 课堂小结 一、本节课学习的新知识 函数的单调性 单调区间 $$