2.3 基本不等式及其应用（课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

第2章 等式与不等式 沪教版（2020）必修第一册 2.3 基本不等式及其应用 学习任务 1 2 3 理解两个基本不等式，知道其应用条件及几何解释. 会用基本不等式证明简单的不等式或比较代数式的大小. 会利用基本不等式求一些简单的代数式的最值. 4 会从基本不等式中归纳出“和积定理”. 1 新课导入 从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！ 2 知识梳理 平均值不等式 1.定理：如果a>0，b>0，则 ，当且仅当　　 时，等号成立. 2.其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数. 3.两个正数的算术平均数　　 　它们的几何平均数. a＝b 大于等于 　(作差法) 当且仅当a＝b时，等号成立. 问题　现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用a，b， 分别替换上式中的 能得到什么样结论？ 当且仅当a＝b时，等号成立. 常用不等式 a2＋b2≥2ab， 其他不等式 三角不等式 3 题型总结 题型一 不等式的理解 例1　 B 题型二 利用基本不等式求最值 例2（1）　 解　因为x>0， 题型二 利用基本不等式求最值 例2（2）　 和积定理 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值 ；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时， 积xy有最大值 ，简记为：积定和最小，和定积最大. 注意点： (1)三个关键点：一正、二定、三相等.①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.(2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换. 题型三 配凑法求最值 例3 题型三 配凑法求最值 例3 题型四 “1”的代换 例4　 题型五 比大小 例5 解　∵0<a<1,0<b<1，且a≠b， ∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择. 而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)， ∵0<a<1,0<b<1， ∴a(a－1)<0，b(b－1)<0， ∴a2＋b2－(a＋b)<0， 即a2＋b2<a＋b，∴a＋b最大. 题型六 不等式的证明 例6 题型六 不等式的证明 例6 题型七 应用题 例7 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝_____. 20 解析　总运费与总存储费用之和 即x＝20时取等号. 题型八 三角不等式 例8 题型八 三角不等式 例8 4 课堂练习 1.下列不等式中正确的是 D 解　因为x>1，故有x－1>0， 因此所求最小值为5. 3.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为 A.80 B.77 C.81 D.82 解析　因为x>0，y>0， C 当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81. 4.已知0<x< ，则y＝x(1－2x)的最大值为____. 5.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是______. ③ 6.(多选)下列条件可使 ≥2成立的有 A.ab>0 B.ab<0 C.a>0，b>0 D.a<0，b<0 √ √ √ 2 解析　由基本不等式可知②④正确. 当且仅当x＝4－x， 即x＝2时等号成立， 故最大值为2. B 9.已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为 A.16 B.9 C.4 D.36 B 当且仅当1＋x＝1＋2y， 即x＝2，y＝1时，等号成立. 10.已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为____. 解析　因为x>0，y>0,2x＋3y＝6， 当且仅当2x＝3y， 解　∵x，y为正实数，3x＋2y＝10， 当且仅当3x＝2y,3x＋2y＝10， 14.围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图.已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元). 试确定x，