13.4.4过一点作已知直线的垂线学案2023-2024学年华东师大版八年级数学上册

13.4.4 过一点作已知直线的垂线  学案

一、     学习目标

1. 会用尺规作图过一点作已知直线的垂线.

2. 理解用尺规作图过一点作已知直线的垂线的依据.

3. 会利用基本作图作复杂的几何图形.

学习重点：会用尺规作图过一点作已知直线的垂线.

学习难点：会利用基本作图作复杂的几何图形.

二、学习过程

（一）        复习导入

1.尺规作图作已知角平分线的方法.

2.用尺规作图作平角∠AOB的平分线.

所以，射线OC即为所求.

3.观察上述作图，你发现直线OC与AB的位置关系是 垂直  .

4.思考：利用作平角的角平分线的方法，可以过直线上一点作已知直线的垂线.

（二）自主阅读，探索新知

自主阅读课本第88-89页，并完成下列问题：

1.平面内的点与直线的关系

有 两 种位置关系，分别是 点在直线上 和 点在直线外 .

2.过直线上一点作已知直线的垂线

已知：直线AB，点C在直线上，经过点C作直线AB的垂线.

作法：①作平角∠ACB的平分线CD.

②反向延长CD.

所以，直线CD即为所求.

3. 过直线外一点作已知直线的垂线

已知：直线及直线外一点A.

求作：直线AB，使AB⊥直线.

作法：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交直线于点C.D.

②分别以点C.D为圆心，以大于长为半径在直线另一侧画弧，两弧交于点B.

③经过点A.B作直线AB.

所以，直线AB就是所求的直线.

4. 证明所作直线与已知直线垂直

证明：连结AC， AD，BC，BD，

由作图可知AC=AD，BC=BD，

∵AB=AB，∴△ACB≌△ADB，∴∠BAC=∠DAC，

又∵AC=AD，∴AB⊥CD.（等腰三角形的“三线合一”）

（三）理解作法，典例精析

典例精析  例1.如图，直线AB，CD交于点O，点P在直线AB上，本题画图均不写画法．

（1）过点P画AB的垂线交CD于点E；

（2）过点P画PF⊥CD，垂足为F.

解：（1）如图所示，PE即为所求；

（2）如图所示，PF即为所求.

温馨提示：1.本题（1）是过直线上一点作已知直线的垂线，（2）是过直线外一点作已知直线的垂线，作图时要注意区别，准确作图.

          2.已知图形中点、线较多，画图时要学会选择适当的半径画弧，保持作图痕迹的清晰完整.

例2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，E为边BC上的点，且AB=AE，D为线段BE的中点，过点A作AG∥BC．

（1）过点E作EF⊥AE与AG相交于点F（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求证： AC=EF．