13.4.3作已知角的平分线学案2023-2024学年华东师大版八年级数学上册

13.4.3   作已知角的平分线  学案

一、     学习目标

1. 会用尺规作图作已知角的平分线.

2. 理解用尺规作图作角平分线的依据.

3. 会利用基本作图作复杂的几何图形.

学习重点：会用尺规作图作已知角的平分线.

学习难点：会利用基本作图作复杂的几何图形.

二、学习过程

（一）        复习导入

1.尺规作图的工具  圆规和无刻度的直尺   .

2. 我们已经会用量角器作已知角的平分线，能否用尺规作已知角的平分线呢？

（二）自主阅读，探索新知

自主阅读课本第87页，并完成下列问题：

1.作已知角的平分线

已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线.

作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，

交OA于M，交OB于N.

②分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，

两弧在∠AOB的内部交于点C.

③画射线OC.

射线OC即为所求.

2.证明所作射线是角的平分线

证明：连结MC，NC，

由作图可知OM=ON，CM=CN，

又∵OC=OC，∴△OCM≌△OCN，

∴∠AOC=∠BOC，

∴OC平分∠AOB.

3. 探究：如何将一个角四等分？

已知：∠AOB.

求作：∠AOB的四等分线.

作法：（1）作∠AOB的平分线OC；

（2）作∠AOC的平分线OD；

（3）作∠BOC的平分线OE；

所以，射线OC，OD，OE就是∠AOB的四等分线.

 

（三）理解作法，典例精析

典例精析例1.已知△ABC中，∠A=70°.

（1）作∠ABC和∠ACB的角平分线，两线交于点O;

（2）求∠BOC的度数．

       （图1）              （图2）

（1）作图如图2，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线.

（2）解：由作图得OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，

∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，

∵∠BOC＝180°-∠OBC-∠OCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）

∵∠A=70°.∴∠BOC＝125°．

方法指导：1.本题中作三角形的角平分线，要注意三角形的角平分线是线段，不要作成射线.

          2.作图的过程是数学操作的过程，操作的结论可以作为推理的条件运用.

例2.如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；②分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O; ③画射线BO，交AD于点E．

求证：AB=AE.

（1）证明：由作图可知：BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC=∠ABE，

∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC．

∴∠AEB=∠ABE，

∴AB=AE.

方法指导：要熟悉作已知角的平分线的过程及步骤，在复杂图形中能准确识别作图操作是否为角的平分线，进一步依据角的平分线及有关几何图形的性质进行推理．