13.3.1等腰三角形的性质学案2023-2024学年 华东师大版八年级数学上册

13.3.1 等腰三角形的性质 学案

一、     学习目标

1．理解并掌握“等边对等角”定理，能够运用定理计算证明；

2．理解并掌握“三线合一”定理，能够运用定理计算证明；

学习重点：灵活运用“等边对等角”和“三线合一”进行证明计算.

学习难点：“等边对等角” 和“三线合一”的探究过程.

二、学习过程

（一）        复习回顾，情境导入

复习回顾

1.什么是等腰三角形？   有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

2．等腰三角形中，相等的两边都叫做  腰   ，另一边叫做  底边   .

两腰的夹角叫做   顶角    ，腰和底边的夹角叫做  底角   .

3.等腰三角形的一边长为3，另一边长为4，则它的周长是 10或11   .

问题情境

如图，工厂厂房的屋顶人字架是等腰三角形，AB=AC，李师傅想知道中柱AD的位置是否正确？你能帮李师傅测量一下吗？

王平的方法是：测量BD和CD，得BD=CD，则中柱AD的位置正确；

刘明的方法是：用直角尺测量∠ADC，若∠ADC是直角，则中柱AD的位置正确.

你认为谁的方法正确？

（二）自主阅读，探索新知

自主阅读课本第78-80页第二段结束，并完成下列问题：

1.动手操作

如图拿出一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它打开，得到的△ABC.

2．观察发现

（1）△ABC的形状是                   ；

（2）△ABC的对称性是                    ；

（3）△ABC沿折痕AD对折，写出其中所有重合的线段和角：

重合的线段：AB和AC，BD和CD，AD和AD.

重合的角：∠B和∠C，∠BAD和∠CAD，∠ADB和∠ADC，.

3.大胆猜想

 等腰三角形除了两腰相等以外，还有哪些性质呢？

猜想1：等腰三角形的两个底角相等.

猜想2：等腰三角形底边上的高、中线 及 顶角的平分线    互相重合.

4.论证猜想

如图，已知△ABC中，AB=AC.

求证：∠B=∠C.

分析：要证明两个角相等，常用的思路是构造两个三角形，且两个角分别在两个三角形中，若这两个三角形全等，则可以利用全等三角形的对应角相等证明结论.

请补全下面的证明过程：

方法一：

作AD平分∠BAC，

 ∴∠BAD=∠CAD，

在△ABD和△ACD中，

AB=AC，∠BAD=∠CAD，

AD=AD，

∴ △ABD≌△ACD ，

∴ ∠B=∠C.

方法二：

作AD⊥BC于点D，

∴∠BDA=∠CDA=90°，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

AB=AC， AD=AD，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD，

∴ ∠B=∠C.

 

方法三：

取BC的中点D，连结AD，

∴BD=CD，

在△ABD和△ACD中，

AB=AC， AD=AD，BD=CD

∴△ABD≌△ACD ，

∴ ∠B＝∠C.

 

思考：上述证明中，你是否还能发现更多的结论？

（1）方法一中，可以得到AD⊥BC，BD=CD.

理由：∵△ABD≌△ACD，∴∠BDA=∠CDA，BD=CD，

∵∠BDA+∠CDA=180°， ∴∠BDA=∠CDA=90°， ∴AD⊥BC.

（2）方法二中，可以得到AD平分∠BAC，BD=CD.

（3）方法三中，可以得到AD平分∠BAC，AD⊥BC.

结论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.

5.得出结论：

性质1:

文字语言：等腰三角形的两个底角相等.

简写为 “等边对等角”.

符号语言：如图，∵AB=AC， ∴∠B=∠C.

性质2：

文字语言：等腰三角形底边上的  高  、中线 及 顶角的平分线    互相重合.

简称为 “等腰三角形的三线合一”.