22.3.2增长率类问题 学案2023-2024学年 华东师大版九年级数学上册

《22.3.2 增长率类问题》 精品学案

学习目标：

  1.理解增长率、降低率等词语的实际含义及它们之间的关系.

2.能正确分析增长率类问题中的等量关系并建立一元二次方程数学模型.

3.掌握增长率类实际问题的常见题型解法及一般步骤.

一、复习回顾，自主构建

1.小金第一次周测数学成绩80分，第二次周测比第一次提高了5%，第二次周测成绩是多少？第三次又比第二次提高了5%，第三次周测成绩是多少？

解：第二次周测成绩：80×（1+5%）＝84

第三次周测成绩：84×（1+5%）＝88.2

答：第二次周测成绩是84分，第三次周测成绩是88.2分.

思考：在这个问题中，你怎么计算的？从中你发现什么了？若是降低10%呢？你又有什么发现？

思维提升：

归纳总结：增长率问题的基本关系式：基数×（1±增长率）=增长后的数目（降低后的数目）

若连续两次增长，且增长率相同，即可称为平均增长率，则基本关系式表示为：

基数（1±平均增长率）²=两次增长后的数目（两次降低后的数目）

二、独立思考，积累经验

2.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）

A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242 

C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242

解：设该快递店揽件日平均增长率为x，

根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242，

故选：A．

解题密码：根据快递店揽件日平均增长率的关系可知：第三天揽件数＝第一天揽件数×（1+揽件日平均增长率）2，把相关数值代入即可．

注意：找到关键描述语，找到等量关系，是解决问题的关键，及增长率问题的一般规律．

3.某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（　　）

A．19% B．20% C．21% D．22%

解：设每年增长率为x，绿地面积为1，

依题意得第一年的绿地面积为：1+x，则第二年的绿地面积为：（1+x）（1+x），

则（1+x）（1+x）＝1+44%，

解得x＝20% （负值已舍），

故选：B．

解题密码：没有基数看做单位1，连续两年增长后的绿地面积可表示为：（1+增长率）²，两年后实际绿地面积为： 1+44%，列出方程即可得出答案．

注意：一元二次方程解的取舍，及每一次增长的基础．

典例分析：

1.某校为落实“光盘行动”，对每天的剩饭菜进行称重，第一周的剩余量为20 kg，第三周为9.8 kg，设每周剩余量的平均减少率为x，则由题意可列方程 　20（1–x）2＝9.8　．

解：依题意得：20（1﹣x）2＝9.8．

故答案为：20（1–x）2＝9.8．

解题密码：利用第三周的剩余量＝第一周的剩余量×（1﹣每周剩余量的平均减少率）2，即可得出关于x的一元二次方程，即可得解．

注意：减少或降低是“－”号，超过百分之百的降低率或负值舍去.

2．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，

根据题意，得（1+x）2＝144，

解得x1＝11，x2＝﹣13（舍去）．

答：每轮传染中平均一个人传染11个人．

解题密码：第一轮传染中一个人传染了x个人，第二轮（1+x）个人传染了x个人，两轮后共有（1+x）+x(1+x)即（1+x）²个人患流感，根据题意建立一元二次方程，求解即可．

注意：根据实际理解题意并根据题意建立等量关系．

3.某小区居民今年从三月开始到五月底全部接种新冠疫苗，已知该小区常驻人口2022人，三月已有600人接种新冠疫苗，四月、五月每月新接种人数都较前一个月有增长，且月增长率均为x，则下面所列方程正确的是（　　）

A．600（1+x）2＝2022 

B．600+600（1+x）2＝2022 

C．600（1+x）+600（1+x）2＝2022 

D．600+600（1+x）+600（1+x）2＝2022

解：∵三月已有600人接种新冠疫苗，四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，

∴四月份接种人数为600（1+x），五月份为600（1+x）2人，

∴方程为：600+600（1+x）+600（1+x）2＝2022，

故选：D．

解题密码：先分别表示出四月和五月的人数，再根据三个月所有接种的人数列出方程即可．

注意：审清题意，三个月的和与第三个月的区分.

交流讨论：

1. 请根据图片内容，回答下列问题：

（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？

（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？

解：（1）设每轮传染中，平均一个人传染x个人，

根据题意，可得（1+x）2＝121，

解得x1＝10，x2＝﹣12（舍去），

答：每轮传染中，平均一个人传染10个人；

（2）根据题意，121×10＝1210（名），

答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者．

解题密码：传染类问题也是增长率问题，两轮传染后是（1+传染人数）²，根据题意列一元二次方程，求解后再求第三轮的感染人数.

注意：理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．

2. 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（　　）

A．8 B．10 C．7 D．9

解：设共有x支队伍参加比赛

根据题意，可得，

解得x＝10或x＝﹣9（舍），