21.2二次根式的乘除（第2课时）学案2023-2024学年 华东师大版九年级数学上册

21.2 二次根式的乘除（2）

学案

学习目标：

  1.利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.
2.会进行简单的二次根式的除法运算.
3.理解最简二次根式的概念并能进行化简.

一、复习回顾，自主构建

问题导学：

1.二次根式算术平方根的积和积的算术平方根分别是什么？

2.你能用字母表示出来吗？有限制条件吗？

思考：两个根式相除，怎样进行计算呢？商的算术平方根又等于多少？
二、独立完成，积累经验

探究一：算术平方根的商

算一算: 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？

 __________   

 __________   

__________   

__________    

思考：观察上面的计算结果，你能发现什么规律？

                        

归纳： =         （a≥0，）

这里为什么要求a≥0，？

两个算术平方根的商等于它们被开方数商的算术平方根.

探究二：商的算术平方根

上面的等式也可以写成

语言表述：商的算术平方根，等于各因式的              .

典例分析：

 例1：计算：

              

 解：；

思考交流总结：

1.二次根式的除法与二次根式的乘法公式相比有什么共同点与区别？

共同点：一个根号变成两个根号.

区别：取值范围不同.

2.理解和记忆二次根式除法公式要注意的问题：

注意:(1) 这里的被开方数可以是一个数或式子.

(2) 注意被开方数的取值范围.

例2：化简 ，使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母.
解：方法一：

方法二：

方法总结：二次根式的除法，要化去分母中的根号，只要将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式将分母“变”成平方数或式，再“开方”出来.

探究三：最简二次根式

1.下列二次根式中，是最简单的二次根式的是（    B    ）

A.B.     C.          D.

2.化简：

（1）（要求分母不带根号）

解：（1）

3.化简：（1）

解：（1）

 

观察并思考化简后的这些二次根式：
（1）你觉得这些结果能否再化简？
（2）这些结果有什么共同特点？

这样的二次根式称为最简二次根式.

最简二次根式具备的条件：

根号下不含平方数或式；
根号下不含分母；
分母中不含根号.

三、运用新知，整合资源

1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立.

2.化简：