14.2勾股定理的应用（第1课时）学案 2023-2024学年华东师大版八年级数学上册

14.2 勾股定理的应用（1）  学案

一、     学习目标

1. 进一步理解勾股定理，能运用勾股定理解决立体图形表面上两点间的最短距离.

2. 会根据具体问题运用勾股定理解决实际问题.

3. 感受数学的“转化”思想，体会数学的应用价值.

学习重点：运用勾股定理解决实际问题.

学习难点：运用勾股定理解决立体图形表面上两点间的最短距离.

二、学习过程

（一）        复习导入

1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.勾股定理的灵活变形：

（二）自主阅读，探索新知

自主阅读课本第120-121页，并完成下列问题：

1.探究立体图形表面上两点间的最短距离

通过阅读例1，思考下列问题：

（1）为什么要将圆柱体沿表面展开？

只有将圆柱体的曲面展开转化为平面，才可以直接连接两点，再根据“两点之间， 线段最短”求解.

（2）平面展开图中长方形的长、宽分别对应圆柱体的什么值？

平面展开图中长方形的长是圆柱体底面周长的一半，宽是圆柱体的高.

（3）两点间的最小距离实际上就是长方形对角线的长.

2.探究运用勾股定理解决实际问题

通过阅读例2，思考下列问题：

（1）考虑卡车能否通过时，你会选择让卡车怎样通过？

让卡车的中轴线与大门的中轴线重合，这样可以让卡车在大门相对高的地方通过.

（2）卡车能否顺利通过，需要关注哪个数值？

需要关注距离大门中轴线0.8米的地方的高度，即图中CH的值，其中关键是确定CD的值.

（3）如何确定CD的值呢？

构造直角三角形COD，其中OC是半径，OD=0.8，利用勾股定理可求得CD的值.

（三）典例精析

例1.如图，长方体的长宽高分别是3，4，2，一只蚂蚁要沿着长方体的外表面从A点爬到B点，求最短路径长.

解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是7和2，则所走的最短线段

；

第二种情况：如图2，把我们看到的左面与底面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是5和4，所以走的最短线段；

第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和底面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是3和6，所以走的最短线段；

因为，所以最短路径长为．

方法点拨：1. 题考查了平面展开﹣最短路线问题，要计算蚂蚁从A到B的最短路程，必须把长方体盒子展开成平面图形，再利用勾股定理计算线段AB的长．

2.将长立体表面展开时，共有三种不同的展开方式，分别是“前+右”， “前+上” ，“前+下”，再通过计算，比较大小，从而确定最小值，要注意三种展开图不重复不遗漏.

例2.某中学打算筹办校园文化艺术节，需要用彩带装饰舞台四周的圆柱形灯管．如图，已知圆柱形灯管高为120cm，底面周长为32cm，如果要在其表面缠绕5圈彩带，最少应裁剪彩带 　   　cm．

解：如图，展开后可得AB＝32×5＝160（cm），BC＝120cm，

．

所以彩带至少应剪200cm，故答案为：200．

方法指导：本题考查在圆柱体表面绕5圈的最小值，解答的关键是“化曲面为平面”. 思路如下：①绕5圈展开成平面是5个连接的侧面；②线段AC的长就是最短距离. 其实相当于在圆柱表面均匀绕了5圈.

例3.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门的意思）