14.1.1直角三角形三边的关系 学案2023-2024学年 华东师大版八年级数学上册

14.1.1 直角三角形三边的关系（2）  学案

一、     学习目标

1.进一步理解勾股定理，能灵活运用勾股定理.

2.会运用勾股定理解决简单的问题.

学习重点：能灵活运用勾股定理解决简单的问题.

学习难点：能灵活运用勾股定理解决简单的问题.

二、学习过程

（一）        复习回顾

1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.勾股定理灵活变形：

（二）理解定理，直接运用

自主阅读课本第111页例2.例3，并完成下列问题：

1.例2中，已知直角三角形的一条直角边长及另外两条边之间的关系.解答时可以利用勾股定理建立简单方程，从而进一步求解.

2.例3是一个实际应用问题，要计算不可直接到达的两点之间的距离. 解答时首先选择恰当的点构建直角三角形，然后通过测量得到两条边的长度，再利用勾股定理计算求解.

3.勾股定理是一个定理，也是一种方法----在直角三角形中计算边长的方法，还是一个思路----解决实际问题的思路.

（三）“等积”+“勾股”，斜边高确定

例1.如图，△ABC中， ∠C=90°， AC=5， BC=12，CD⊥AB， 则CD的长为（　　）

A．6 B．8

C．13 D.

解：∵∠C=90°， AC=5， BC=12，

∴根据勾股定理可得：，

∴，

∵， 即，

∴.   故答案为D.

方法指导：解答本题时，先用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．这种利用“等面积法”求解的方法在计算垂线段长度时经常用到.

（四）构造直角，勾股求解

例2.如图1，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝DE＝8，EF＝6.

求A.F两点间的距离．

     

        （图1）                        （图2）

解：如图2，过点F作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，

∵∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，EF＝6，

∴AG＝AB+CD+EF＝3+3+6＝12，

∵BC＝DE＝8， ∴FG＝BC+DE＝8+8＝16，

∵FG⊥AB，  ∴∠G＝90°

在Rt△AGF中，．

答：A.F两点间的距离为20．

方法指导：本题是一道应用问题，解答的关键是将图中的线段进行恰当的平移，成功的构造成直角三角形，进一步利用勾股定理求解.

（五）构建方程，解决问题

例3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度．（滑轮上方的部分忽略不计）

解：设旗杆高度为x m，则AC=AD=x m，AB=（x-2）m，BC=8 m，

在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，

即（x-2）2+82=x2，

解得：x=17，

答：旗杆的高度为17 m.

方法归纳：在直角三角形中，若没有说明已知边是直角边还是斜边时，需要根据具体题目分类讨论，不能依据经验主观地判断斜边或直角边．

例4.如图1，在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，求△ABC的面积.