13.5.3角平分线 学案 2023-2024学年华东师大版八年级数学上册

13.5.3 角平分线  学案

一、     学习目标

1. 理解并掌握角平分线的性质定理及逆定理.

2. 会运用线段角平分线的性质定理及逆定理解决简单问题.

学习重点：掌握角平分线的定理和逆定理.

学习难点：线段角平分线的定理和逆定理的应用.

二、学习过程

（一）        复习回顾，情境导入

1.复习回顾

（1）角平分线的定义：

从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.

（2）我们知道角是轴对称图形，有一条对称轴，是角平分线所在的直线.

2.问题情境

工人张师傅在工地上找了一块三角形铁皮ABC. 他想在中间打一个孔，使这个孔（不计孔的大小 ）到三角形三边的距离相等.他进行了如下的操作：

①作∠ABC的平分线；

②作∠ACB的平分线，两条角平分线交于点O.

所以，点O就是打孔的位置.

徒弟小明静静地看着，一脸的困惑.问师傅这是有什么道理？

师傅笑笑说，学完这节课就知道了.

（二）自主阅读，探索新知

自主阅读课本第96-97页，并完成下列问题：

1.角平分线性质的探究

（1）尺规作图作角平分线

如图，射线OC是线段∠AOB的垂直平分线.

（2）探究发现：

连结CM， CN， 作CD⊥OB，CE⊥OA.

将∠AOB沿OC折叠，你发现图中有哪些相等的线段？

CM= CN， CE=CD.

思考：如果点P都是角平分线上任意一点，那么点P到角两边的距离相等吗？

（3）大胆猜想：

角平分线上的点到角两边的距离相等.

2.论证猜想

如图， 已知OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，

PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.

求证：PD=PE.

证明：∵PD⊥OB，PE⊥OA，

∴∠PEO=∠PDO =90° ，

∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOP=∠BOP

∵PO＝PO，∴△DOP≌△EOP， 

∴PD=PE.

3.得出角平分线的性质定理

角平分线上的点到角两边的距离相等.

4.角平分线性质的逆定理探究

（1）性质定理的逆命题探究

	条件	结论
性质定理	一个点在角的平分线上	这个点到角两边的距离相等
逆命题	一个点到角的两边的距离相等	这个点在这个角的平分线上

（2）性质定理的逆命题：

到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

（3）判断逆命题真假

如图，已知PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D.E，PD=PE.

求证：点P在∠AOB的角平分线上.

分析：为了证明点P在∠AOB的平分线上，可以先作射线OP，然后证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠AOP=∠BOP.

证明：作射线OP，

∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PEO=∠PDO =90° ，

在Rt△PDO和Rt△PEO中，

PD=PE，OP=OP，∴Rt△PDO≌Rt△PEO，

∴∠AOP=∠BOP.

逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，

          ∴点P在∠AOB的角平分线上.

（三）理解作法，典例精析

典例精析  例1.如图，在△ABC中，AB＝3BC，BD平分∠ABC交AC于点D，若△ABD的面积为S1，△BCD的面积为S2，则关于S1与S2之间的数量关系，下列说法正确的是（　　）

A．S1＝4S2 

B．S1＝3S2 

C．S1＝2S2 

D．S1＝S2

解析：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，

∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，

∴DE＝DF，（角平分线上的点到角两边的距离相

等）

∴△ABD和△BCD是两个等高的三角形，

∴两个三角形面积之比等于对应的底边之比，

∵AB＝3BC，∴S1＝3S2．故答案为B．

温馨提示：1.解答三角形面积问题时，常常根据图形特点寻找三角形的底和高之间的关系，进一步寻找面积之间的关系.

2.当已知角的平分线时，常常利用角平分线上的点到角两边的距离相等构造两个等高的三角形，进一步根据三角形对应的底边之比得到面积之比.

例2.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路OM，ON的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？

分析：连接AB，作线段AB的垂直平分线，它上面的点到A，B的距离相等，再作出∠MON或其邻补角∠QON的平分线，它上面的点到OM、ON的距离相等，即可得出它们的交点P就是所求的发射塔应修建的位置．

解：如图，作AB的垂直平分线与∠MON或∠QON的平分线，交点P1，P2即为所求发射塔应修建的位置．

．

方法归纳：解答这类确定点的位置题目时，关键是利用线段垂直平分线以及角平分线的性质分析确定点的位置，进一步运用垂直平分线和角平分线的作法来确定点P的位置. 易错点是点P的位置有两个，注意不要漏掉P2点．

（四）合作探究