第二十四章 圆 24.1.2 垂直于弦的直径（配套课件）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教学课件PPT（人教版）

第 二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径 1 学 习 目 标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 新课导入 宝宝要过生日了！妈妈买来了蛋糕，要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？ 在切蛋糕的过程中，你有什么发现？ 问题 ：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 圆的对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. ●O 操作：在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 垂径定理及其推论 知识讲解 问题1： 如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 线段: AE=BE； 劣弧: AC=BC, AD=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下：连接. 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC，AD与BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B C D E （1）垂径定理 · O A B C D E 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE， ⌒ ⌒ AC =BC， ⌒ ⌒ AD =BD. 推导格式 知识讲解 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 知识讲解 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 归纳 知识讲解 · O A B D C P 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P.求证：AP=BP， AC =BC, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD =BD. 证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB. 即△AOB是等腰三角形. ∵AB⊥CD， ∴AP=BP， ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD， ⌒ ⌒ ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. 想一想：能不能用所学过的知识证明垂径定理？ 知识讲解 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）垂径定理的推论 ⌒ ⌒ CD⊥AB, AC=BC, ⌒ ⌒ AD=BD CD是直径， AE=BE 推导格式 Ｄ Ｃ Ａ Ｂ Ｅ Ｏ 知识讲解 思考： “不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 提示： 圆的两条直径是互相平分的，但是不一定相互垂直. O A B N D M C 知识讲解 一条直线满足五个条件： ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦（非直径） ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧 ① ⑤ ③④② ① ④ ③②⑤ ①③ ②④⑤ ① ④ ⑤ ② ③ ①② ③④⑤ 知二推三 总结： 知识讲解 · O A B E C D 解：连接OA. ∵ CE⊥AB 于D， 设OC=xcm，则OD =（x-2）cm. 根据勾股定理，得 解得x=5. 即半径OC 的长为5cm. x2=42+(x-2)2， 例 如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝ 2cm，求半径OC的长. ∴AD = 知识讲解 在圆中有关弦长a，半径r， 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. （1）涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： （2）弓形中重要数量关系 A B C D O h r d d+h=r O A B C · 拓展归纳 知识讲解 随堂训练 1.判断下列说法的正误 (1)垂直于弦的直径平分这条弦 . ( ) (2)平分弦的直线必垂直弦 . (3)弦的垂直平分线是圆的直径 . ( ) ( ) (4) 垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ） (5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） 15 2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 . 5cm 3.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°，则弦AC= . cm 4. 已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN =12cm，EF =16cm，则弦MN 和EF之