5.3 垂径定理教学课件- 2022—2023学年鲁教版（五四制）九年级数学下册

1.学习用品: 课本、学案、圆形纸片、作图工具 2.预习课本:P14--16页 课前准备 5.3 垂径定理 义务教育五·四制九年级下册 问题 ：赵州桥是1400多年前我国隋代著名工匠李春建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能根据已知数据求出它的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 问题情境 折一折：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现：圆是______ 图形，任何一条____________ 都是它的对称轴，它有______条对称轴。 动手操作 轴对称 直径所在的直线 无数 · 5 O M A B C D · 动手操作 画一画：按照要求作图： 1.找出圆心，记为O 2.作出一条直径，与⊙O交点为C、D 3.圆上找一点A,过点A作AB⊥CD,交⊙O于点B，垂足为M ? 思 考 1.你所作的图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 2.你能找出图中有哪些相等的线段和弧吗？ 线段：AM=BM 弧： ⌒ ⌒ AC =BC ⌒ ⌒ AD=BD 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 动态演示 几何画板演示 · O A B C D M 已知：如图，AB 是⊙O 的一条弦，CD是⊙O 的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M． 等腰三角形 三线合一 求证：AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 证 一 证 自主探究 连半径 圆心角定理 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 说一说： 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所的两条弧. ●O A B C D M└ ∵ CD是直径 CD⊥AB ∴AM=BM ⌒ ⌒ AC =BC ⌒ ⌒ AD =BD 符号语言 条件 （1）直径 （2）垂直于弦 结论 （3）平分弦 （4）平分弦所对的劣弧 （5）平分弦所对的优弧 知识概括 垂径定理 9 A B C O (3) A B C D O (2) A B C D O (1) E A B C D O (4) E 以下图形是否具备垂径定理条件？ 1.过圆心（直径） 2.垂直于弦 定理辨析 辨一辨： √ √ AB是⊙O的一条弦(不是直径）,且AM=BM.过点M作直径CD. 2.你能发现图中有哪些相等的弧?CD与AB垂直吗？说说理由. ●O C D ● A B M 合作探究 1.这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 议 一 议 3.“不是直径”这个条件能去掉吗？ 如果不能，请举出反例。 · 特别说明： 圆的任意两条直径都互相平分。 合作要求：（ 计时3分钟 ） 1.先独立思考 2.根据问题记录结论 3.推荐一名代表发言 ●O 11 知识概括 垂径定理推论： 平分弦 的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧。 ∵CD是直径 AM=BM 条件 ●O A B C D 结论 ⌒ ⌒ AD =BD ⌒ ⌒ AC=BC ∴CD⊥AB （不是直径） M 例1.如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 解:连接OC. ● O C D E F ┗ 建模思想 典例示范 半径半弦弦心距 连半径 练一练： 用勾股 方程思想 1.如图，已知⊙O的半径为30mm,弦AB=36mm,则∠OAB的正弦值是 。 牛刀小试 A B 0 辅助线：作垂直，得平分，用勾股 2.⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD， AB=16cm，CD=12cm，则AB、CD间的 距离是 . 2cm或14cm 分类讨论 大显身手 1.两条弦在圆心的同侧 ●O A B C D 2.两条弦在圆心的两侧 ●O A B C D 15 www.qyxk.net 中学数学网（群英学科）收集提供 （1）求弦a、半径r、弦心距d、拱高h的计算问题， 可用垂径定理＋勾股定理来解决。 d+h=r A B C D h r d 方法归纳 （2）重要的辅助线：（半径半弦弦心距） 作垂直，用垂径；连半径，用勾股。 B O D A C R 解决求赵州桥拱半径的问题 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. 解得：R≈27．9（m） 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 即 R