第十二章 全等三角形 12.3.2角的平分线的判定（配套课件）-【名校培优课堂】2023-2024学年八年级上册数学同步教学课件PPT（人教版）

第 十二 章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质 12.3.2 角的平分线的判定 1 学习目标 1 2 掌握角的平分线的判定定理（重点）. 会应用角的平分线的判定解决相关问题（难点）. 知识回顾 角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵OC 是∠AOB 的平分线， ∴PD = PE. P 是角平分线上一点，且PD⊥OA,PE⊥OB， 书写格式： B A D O P E C 想一想： 新课导入 将角的平分线的性质反过来，即到一个角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？ 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 知识讲解 如图，由 于点D， 于点E，PD =PE，可以得到什么结论 ？ OB PE ^ PD ^ OA 已知：如图，PD^OA，PE^OB， 垂足分别是D,E,PD=PE. 求证：点P 在∠AOB 的平分线上. B A D O P E 猜想：点P在∠AOB 的平分线上,即角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 证明猜想 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE。 求证：点P 在∠AOB 的平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 在Rt△PDO 和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP， PD=PE， B A D O P E ∵PD⊥OA,PE⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90° ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）。 ∴∠AOP=∠BOP 知识讲解 结论：判定定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应满足的条件： （1）点在角的内部. （2）该点到角两边的距离相等. 书写格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 知识讲解 例1 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF. 求证：AD 是△ABC 的角平分线. A B C E F D 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC, ∴∠BED =∠CFD =90° ∵D 是BC 的中点, ∴BD=CD 在Rt△BED 和Rt△CFD 中， BD=CD, BE=CF, ∴Rt△BED ≌Rt△CFD（HL）, ∴∠BAD=∠CAD, ∴AD 是△ABC 的角平分线. 知识讲解 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. B A D O P E C \ PD=PE OP 是∠AOB 的平分线， ∵ \OP 是∠AOB 的平分线。 PD = PE, 用途：证明线段相等。 用途：证明角相等，判定一条射线是角平分线. PD⊥OA,PE⊥OB ∵PD⊥OA,PE⊥OB， 知识讲解 例2 已知：如图，BE⊥AC 于E， CF⊥AB 于F，BE、CF 相交于点D， BD=CD . 求证： AD 平分∠BAC . A B C F E D 证明：∵BE⊥AC,CF⊥AB, ∴∠DEC =∠DFB =90°. 在△DEC 和△DFB 中, ∠DEC =∠DFB, ∠EDC =∠FDB, CD=BD, ∴△DEC ≌△DFB（AAS）, ∴DE=DF, ∴AD 平分∠BAC. 知识讲解 随堂训练 1、 填空： (1) ∵∠1=∠2,DC⊥AC, DE⊥AB, ∴___________. ( ______________________________________ ) (2) ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE, ∴____________________________________ ( ________________________________________________ ) A C D E B 1 2 ∠1= ∠2（AD 是∠BAC 的角平分线）. DC=DE 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上. 在角平分线上的点到角的两边的距离相等. 2、 如图所示，已知△ABC 中，PE∥AB 交BC 于点E，PF∥AC 交 BC 于点F，点P 是AD上一点，且点D 到PE 的距离与到 PF 的距离 相等，判断AD 是否平分∠BAC，并说明理由. 解：AD 平分∠BAC．理由如下： ∵D 到PE 的距离与到PF 的距离