第十二章 全等三角形 12.3.1角的平分线的性质（配套课件）-【名校培优课堂】2023-2024学年八年级上册数学同步教学课件PPT（人教版）

第 十二 章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质 12.3.1 角的平分线的性质 1 学 习 目 标 1 2 会作一个角的平分线. 通过画、量、观察、比较和猜想等过程，探索、归纳得出角平分线的性质. 会应用角平分线的性质解决相关问题. 3 知识回顾 角平分线的定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线. O B A C 想一想： 新课导入 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法？ A O B C 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ 对折 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ 观察下面简易的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线.你能说明它的道理吗？ 想一想： 新课导入 证明: 在△ACD 和△ACB 中, AD=AB,（已知） DC=BC,（已知） CA=CA,（公共边） ∴ △ACD≌△ACB,（SSS） ∴∠CAD=∠CAB,（全等三角形的对应角相等） ∴AC平分∠DAB.（角平分线的定义） 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？ （不用角平分仪或量角器） 新课导入 知识讲解 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC =∠BOC. 作法: 用尺规作角的平分线 （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M，交OB 于点N. （2）分别以点M,N为圆心,大于MN/2的长为半径画弧,两弧在 ∠AOB内部相交于点C.. （3）画射线OC.射线OC 即为所求. 请你说明OC为什么是∠AOB 的平分线,并与同伴进行交流. A B O N M C 提示：连接CM,CN. 思考：角平分线有什么性质呢？ 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系. 写出结论：____________ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE P D E 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点. 知识讲解 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：一个点在一个角的平分线上. 结论：它到角的两边的距离相等. 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE. A O B P E D C 验证猜想 知识讲解 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB, 证明： ∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°. 在△ PDO和△ PEO中, 　 ∴ △PDO≌△PEO（AAS）, 　 ∠ PDO＝∠PEO, ∠ AOC＝∠BOC, OP=OP, ∴ PD＝PE. 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE. A O B P E D C 知识讲解 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 方法归纳 知识讲解 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应满足的条件：（1）角的平分线； （2）点在角平分线上； （3）垂直距离. 书写格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE. PD⊥OA,PE⊥OB， B A D O P E C 知识讲解 例1 已知:如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC. B A E D C F 【解析】根据角平分线的性质得到DE=DF，再根据HL证△BED≌△CFD,从而得到EB=FC. 知识讲解 证明：∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF , ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. B A E D