第十三章 轴对称 13.1.2线段垂直平分线的性质（配套课件）-【名校培优课堂】2023-2024学年八年级上册数学同步教学课件PPT（人教版）

第十三章 轴对称 13.1.2 线段垂直平分线的性质 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 第十三章 轴对称 学习目标 1 2 会用尺规过一点作已知直线的垂线. 3 能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题.（难点） 理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法.(重点） 新课导入 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ A B C 知识讲解 1.线段垂直平分线的性质 探究：如图，直线l垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系. A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 猜想： 点P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离分别相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 知识讲解 验证： 　证明： ∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB. 　又 AC =CB，PC =PC， 　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）. 　∴ PA =PB. P A B l C 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l上. 求证：PA =PB. 知识讲解 例1 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝20cm，DE 垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC 的周长为35cm，则BC 的长为（ ）. A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm C 知识讲解 解析： ∵△DBC 的周长为BC＋BD＋CD＝35cm， 又∵DE 垂直平分AB， ∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm. ∵AC＝AD＋DC＝20cm， ∴BC＝35－20＝15(cm). 故选C 总结：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长. 知识讲解 例2 已知:如图,在 ΔABC 中,边AB，BC 的垂直平分线交于P. 求证：PA=PB=PC. B A C M N M' N' P PA=PB=PC PB=PC 点P在线段BC的垂直平分线上 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 解析： 知识讲解 证明： ∵点P在线段AB的垂直平分线MN上， ∴PA=PB. 同理 PB=PC. ∴PA=PB=PC. 结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。 现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？ 知识讲解 想一想：如果 PA=PB ,那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ P A B 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段 AB 的垂直平分线上. 2、线段垂直平分线的判定 探究 知识讲解 证明： 过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C． 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上． P A B C 知识讲解 线段垂直平分线的判定： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 应用格式： ∵　PA =PB， ∴　点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 作用： 判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 知识讲解 例3 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. A B C D E K 已知：直线AB和AB外一点C . 求作：AB的垂线，使它经过点C . 作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁. （2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交 AB于 点D和点E. （4）作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线. （3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为 半径作弧，两弧相交于点F. F 知识讲解 例4 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB, 垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. A B O E D C 证明： ∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB, ∴ DE=CE. ∴ OE是CD的垂直平分线. 又∵OE=OE， ∴Rt△OED≌Rt△OEC. ∴DO=CO. 知识讲解 随堂训练 1、如图所示，AC=AD,B