平面向量的概念、线性运算及坐标表示讲义-2024届高三数学二轮专题复习

平面向量的概念、线性运算及坐标表示

1．向量的有关概念

(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．

(2)向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

(3)特殊向量：

①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

②单位向量：长度等于1个单位的向量．

③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．

④相等向量：长度相等且方向相同的向量．

⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算和向量共线定理

(1)．向量的线性运算

【提示】

1．向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0．

2．两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．

3．要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．

4．向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，．

3．向量共线定理

（1）如果且，则；反之且，则一定存在唯一一个实数，使．

推论：

①三点，，共线，共线（功能：证明三点共线）；

②向量，，中三个向量的终点，，共线存在实数，使得，且

（2），．

4．．常用结论

（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．

即．

（2），当且仅当至少有一个为0时，向量不等式的等号成立．

（3）特别地：或当且仅当至少有一个为0时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．

（4）减法公式：，常用于向量式的化简．

（5）、、三点共线，这是直线的向量式方程．

5．基底

如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，，使得．我们把不共线的向量、叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．

6．平面向量的直角坐标运算

①已知点，，则，

②已知，，则，，

．|a|＝．

，

考点一 平面向量的概念

1、给出下列六个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若，则；

③若，则为平行四边形；④在中，一定有；

⑤若，，则；⑥若∥，∥，则∥．

其中不正确的个数是（  ）