22.1.5待定系数法求二次函数解析式（讲+练，7题型）-【重要笔记】2023-2024学年九年级数学上册重要考点精讲精练（人教版）

22.1.5待定系数法求二次函数解析式 二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)； (3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)． 注意：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知 1.已知二次函数的图象过，求这个函数的解析式． 【变式1-1】已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（﹣2，8）和（﹣1，5），求这个二次函数的表达式. 【变式1-2】如图，已知二次函数的图象分别经过点，，求该函数的解析式． 题型2：一般式求二次函数解析式-a、b、c未知 2.已知抛物线经过点(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求抛物线的解析式． 【变式2-1】如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（，0），C（0，2）三点．求抛物线的解析式及顶点M的坐标. 【变式2-2】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴． 题型3：顶点式求二次函数解析式 3.抛物线的顶点为，且过点，求它的函数解析式. 【变式3-1】如图，已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点，在该抛物线上，试比较，的大小． 【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标. 题型4：交点式求二次函数解析式 4.已知二次函数的图象经过点，，求该函数解析式及顶点坐标． 【变式4-1】已知抛物线与x轴的交点坐标为（-1,0），（5,0），与y轴的交点为（0,2），求此抛物线的解析式．并说出此抛物线的开口方向，对称轴，和顶点坐标． 【变式4-2】如图所示，已知二次函数的图象经过点 ， .当 时，求函数值. 题型5：综合-待定系数法与二次函数的性质 5.已知：二次函数的图象经过点，和． （1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点的坐标； （2）设点，在该抛物线上，若，直接写出的取值范围． 【变式5-1】一条抛物线经过点，若将它向右平移2个单位长度，顶点移到原点． (1)求该抛物线的解析式； (2)取何值时，随的增大而增大？取何值时，随的增大而减小？ 【变式5-2】抛物线的对称轴是直线，且过点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)当x为何值时，y随x的增大而增大？ 题型6：综合-待定系数法求最短距离 6.如图，已知抛物线（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值； （2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标． 【变式6-1】如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△ACM的周长最短？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型7：综合-三角形面积 7.已知抛物线与轴的交点是，且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设该抛物线的顶点为，求的面积． 【变式7-1】如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的顶点，求面积． 【变式7-2】已知二次函数图像的对称轴为轴，且经过点和． (1)求此二次函数的解析式； (2)若将该二次函数图像先向下平移个单位，再沿轴翻折后与轴交于，两点，设顶点为，求的面积． 一、单选题 1．已知抛物线经过和两点，则n的值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．用机器从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的