22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（讲+练，10题型）-【重要笔记】2023-2024学年九年级数学上册重要考点精讲精练（人教版）

22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 注意：1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 题型1：一般式化成顶点式-配方法 1.将二次函数用配方法化为的形式，结果为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】把二次函数配方成顶点式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】二次函数图象的顶点坐标是，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 题型2：一般式化成顶点式-应用 2.通过配方把下列函数化成的形式，写出函数图象的对称轴位置和顶点坐标． (1)； (2)． 【变式2-1】用配方法把函数 化成 的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值. 【变式2-2】二次函数y＝（m－2）x2＋（m＋3）x＋m＋2的图象过点（0，5） （1）求m的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴。 二次函数y=ax2+bx+c图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 题型3：公式法求顶点坐标及对称轴 3.已知二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】写出抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标. 【变式3-2】求抛物线y＝x2+2x+3的对称轴和顶点坐标. 题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质 4. 已知二次函数，下列叙述错误的是（    ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．函数有最小值 D．时，函数值y随自变量x的增大而减小 【变式4-1】已知抛物线的对称轴在轴的右侧，当时，的值随着值的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】二次函数 的部分图象如图所示，当 时，函数值 的取值范围是(　　) A． B． C． D． 题型5：利用二次函数的性质比较函数值 5.抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】已知两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点．若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二次函数y=ax2+bx+c图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 几种常考的关系式的解题方法 题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系 6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】已知函数 的对称轴为直线 ．若 是方程 的两个根，且 ，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】已知二次函数的图象大致如图所示．下列说法正确的是（    ）    A． B．当时， C． D．若在函数图象上，当时， 【变式6-3】二次函数图象如图，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　）    A．②③④ B．①②④ C．②③ D．①②③④ 题型7：二次函数的对称性的应用 7.二次函数中，