第一课时　函数的奇偶性

第一课时　函数的奇偶性 第三章 函数的概念与性质 3.2.2奇偶性 课标要求 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题. 素养要求 通过本节内容的学习，让学生结合实例，利用图象抽象出函数性质，提升直观想象和逻辑推理素养. 内容 索引 CONTENT 01 问题导学预习教材 必备知识探究 单击此处添加正文 03 拓展延伸分层精练 核心素养达成 单击此处添加正文 02 互动合作研析题型 关键能力提升 单击此处添加正文 问题导学预习教材 必备知识探究 WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU 一、奇函数、偶函数的定义及图象特征 1.问题　(1)观察下列两个函数的图象，它们有什么共同特征？ 提示　两个函数的图象关于y轴对称. 5 (2)如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况. x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f(x)＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … g(x)＝2－|x| … －1 0 1 2 1 0 －1 … 提示　当自变量任取一对相反数时，相应的两个函数值相等.即任意x∈R，f(－x)＝f(x). 6 7 (1)你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？与问题1中两函数图象特征相同吗？ 提示　两函数的图象都关于原点O(0，0)成中心对称，与问题1中图象特征不同. (2)你能用符号语言精确描述“函数图象关于原点对称”吗？并完成探究结果. 提示　当自变量任取一对相反数时，相应的函数值相反.即任意x∈R，f(－x)＝－f(x). 8 3.填空　(1)偶函数的定义及图象特征 ①偶函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且______________，那么函数f(x)是偶函数. ②偶函数的图象特征：偶函数的图象关于y轴对称.反之，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数. (2)奇函数的定义及图象特征 ①奇函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且________________，那么函数f(x)是奇函数. ②奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称.反之，图象关于原点对称的函数一定是奇函数. f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 9 C 4.做一做　(1)下列函数中是奇函数的是(　　) A.f(x)＝x＋1 B.f(x)＝|x3| C.f(x)＝－2x D.f(x)＝x2＋x (2)函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于________对称. 解析　(1)只有选项C中，x∈R，关于原点对称，且满足f(－x)＝－f(x). (2)∵f(－x)＝(－x)2＋|－x|＝x2＋|x|＝f(x)，且x∈R，定义域关于原点对称， ∴y＝f(x)为偶函数，图象关于y轴对称. y轴 二、函数的奇偶性 提示　定义域是{－2，2}，f(x)是奇函数也是偶函数. 2.填空　如果函数f(x)是________或________，那么就说函数f(x)具有奇偶性. 温馨提醒　(1)奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称；若一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数是非奇非偶函数. (2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 奇函数 偶函数 3.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”. (1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.( ) 提示　反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数. (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.( ) 提示　函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数. (3)若f(x)是偶函数，则必有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)( ) × × √ 13 HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG 互动合作研析题型 关键能力提升 2 例1 判断下列函数的奇偶性： 题型一　函数奇偶性的判定 角度1　一般函数奇偶性的判断 解　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数. (2)∵函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0， 又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数. 角度2　分