2.2 基本不等式课件1-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程、不等式 2.2 基本不等式 一 二 三 教学目标 掌握基本不等式，了解基本不等式的证明过程 理解基本不等式的取最值成立条件 （一正二定三相等） 利用基本不等式解决简单的最值问题 教学目标 难点 重点 易错点 问题 试比较a2+b2与2ab的大小关系？ 解： 当且仅当a=b时，等号成立 PART 重要不等式 当且仅当a=b时，等号成立 文字表述：两个实数的平方和大于等于它们乘积的2倍 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题. 新课讲解 基本不等式 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： 有当且仅当时，等号成立. 特别地，如果，，我们用分别代替上式中的，可得 ，当且仅当时，等号成立. 通常称不等式为基本不等式.其中，叫做正数的算术平均数.叫做正数的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 【证法一】当时，， ， ，所以 由重要不等式可得： 【证法二】当然我们也可以利用分析法： 把这个过程倒过来，就是证明的过程. 只要证； 只要证； 只要证. 要证，去分母并调换方向， 而此式显然成立. 当且仅当时，等号成立. . 所以 所以 所以 综合法 基本不等式 基本不等式的证明 用圆的性质证明 B C A D E a b O AB为圆O的直径。用,b表示线段AC,BC OD=______ CD=______ OD_____CD ≥ “半径不小于半弦” 已知x>0，求 的最小值. 解： 当且仅当 ， 即x=1时，等号成立 已知>0，求 的最小值. 因为x>0， 所以 当且仅当 ， 即 时，等号成立 解： 配凑法 解： 例 ①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件. 一“正” 二“定” 三“相等” 利用基本不等式求最值时，要注意： 【例】已知都是正数，求证： （1）如果等于定值P，那么当时，有最小值 【证明】所以 （1）等于定值P时， ，所以 当且仅当时，上式等号成立，此时有最小值 （2）如果等于定值S，那么当时，有最大值 （2）时， ，两边平方，所以 ，当且仅当时，上式等号成立，此时有最大值 最值定理及其应用 ①当时，，， 当且仅当时，等号成立. ②当时，， 当且仅当时，等号成立. 最值定理及其应用 随堂演练 A AD D 4. 若a>1,则a+与3的大小关系是　　　　.  a+≥3 求最值时注意把握 “一正，二定，三相等” 已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P  x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S  xy≤ S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 1 4 2. 利用基本不等式求最值 1. 两个重要的不等式 课堂小结 谢谢学习 Thank you for learning $$