2.2 基本不等式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式第1课时 第二章等式性质与不等式性质 一 二 三 教学目标 掌握基本不等式，了解基本不等式的证明过程 理解基本不等式的取最值成立条件 （一正二定三相等） 利用基本不等式解决简单的最值问题 教学目标 难点 重点 易错点 在不等关系与不等式一节，我们由赵爽弦图(如下左图)抽象出了一类重要不等式： a2+b2≥2ab ① 不难发现，公式①中，a、b∈R, 当且仅当a=b时等号成立. a2+b2≥2ab (a、b ∈R，当a=b时取等号) ① a×a+b×b a×b+b×a ≥ 二次式 二次式 自乘的和 互乘的和 不小于 如果把两个数相乘看成一次合作“圈地”(如图)，那么公式 ①折射出生活的哲理： 自立自强比互相合作更重要！ 重要不等式 a a b b 特别地： a2+b2≥2ab (a、b ∈R，当a=b时取等号) ① 重要不等式 当b=1时，有a2+1≥2a(a∈R) （降次功能） 当b=时，有a2+≥2(a≠0) （消元功能） 求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca (a、b、c ∈R) 练一练 提示：a2+b2≥2ab b2+c2≥2bc c2+a2≥2ca 问题 特别地，如果a>0，b>0，我们用 分别代替上式中的a，b，可以得到怎样的式子？ PART 基本不等式 当且仅当a=b时，等号成立 算术平均数 几何平均数 文字表述：两个正数的算术平均数大于等于几何平均数 【例】 (1) 设a,b,c均为正实数,求证:a+b+c≥++; (2) 设a,b,c为不全相等的正实数,且a+b+c=1,求证:>8. 思路点拨　(1) 由待证的不等式形式引发用基本不等求解的想法.　 (2) 由于不等式右边的常数“8”,产生直觉——对左边运用三次基本不等式进行放缩. 【证明】 a,b,c均为正实数,可得a+b≥2,b+c≥2,c+a≥2,三式相加可得(a+b)+(b+c)+(c+a)≥2+2+2,即a+b+c≥++.　 (2) 由a+b+c=1,可得-1==,同理可得-1=,-1=,故而=.由a,b,c均为正实数,可得b+c≥2>0,c+a≥2>0,a+b≥2>0,从而(b+c)(c+a)(a+b)≥2·2·2=8abc,当且仅当b=c且c=a且a=b,即a=b=c=时等号成立,但a,b,c不全相等,故等号不成立,因此(b+c)(c+a)(a+b)>8abc,即>8. 2.(1) 证明不等式的方法比较灵活,常用的有:比较法、综合法和分析法等.对涉及正数的条件以及具有和、积的结构特征等的不等式证明,运用基本不等式直接证明常可取到简捷明快的效果.(2) 在证明不等式的过程中,要注意不等式的基本性质的正确应用. 【方法规律】 1.对已知符合基本不等式条件的不等式进行证明，应首先考虑运用基本不等式直接证明．证明方法1是先展开，再运用基本不等式证明；证明方法2是直接运用基本不等式，得到两个同向正数不等式，再运用不等式的性质两边相乘得到要证的不等式。 基本不等式 ≤ (a>0, b>0) 的几何解释： D A B C E 如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD, 则CD= , 半径为 . 思考：图中什么时候 = ？ 基本不等式的简单变形 ≥ (a>0, b>0) ≤()2 (a>0, b>0) ≤ (a>0, b>0) 和 积 基本不等式的功能：和积转化 例1.1 如果，求的最小值？ 一正 三相等 二定 解：因为， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立 因此所求最小值为2. 14 例1.2如果，求的最大值？ 一正 二定 三相等 负号改变开口方向 15 例1.3.如果，求的最小值？ 解　因为x>1，故有x－1>0， 一正 二定 三相等 拼凑成分母数式 16 已知 都是正数，证明： （1）如果积等于定值