2.4.1圆的标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

程 方 准 标 的 圆 M(x, y) C(a,b) x y O 设圆心C(a,b)和圆上动点M(x,y),半径为r 如何确定圆的方程？ 圆的标准方程 练习1.判断下列方程是圆的方程吗？ 2.求下列圆的方程: (1)圆心在原点, 半径为3. (2)以A(0,0)，B(6,8)为直径. (3)与y轴相切，圆心为C(-5,-3). 例1 写出圆心A(2, -3) ,半径等于5的圆的方程,并判断点M(5, -7), N(1，0),Q(7, 1)是在圆上，在圆内，在圆外？ 解：圆A的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25 几何法 代数法 ∴点M在圆上 ∴点N在圆内 ∴点Q在圆外 将点M坐标代入圆的方程， =25, ∴点N在圆内 将点N坐标代入圆的方程， =10<25, ∴点Q在圆外 将点Q坐标代入圆的方程， =41>25, ∴点M在圆上 （1）若(x0-a)2+(y0-b)2=r2，则 点M在圆A上; （2）若(x0-a)2+(y0-b)2<r2，则点M在圆A内 ; （3）若 (x0-a)2+(y0-b)2>r2，则点M在圆A外. 几何法 代数法 （1）若d=r，则点M在圆A上; （2）若d<r，则点M在圆A内 ; （3）若d>r，则点M在圆A外 . 先求出点M与圆心A的距离d 将点M代入圆的方程 例2 △ABC 的三个顶点分别是A(5, 1), B(7, －3), C(2, －8), 求△ABC的外接圆的标准方程. x O y A(5,1) • C(2,-8) • B(7,-3) • • 解1：(待定系数法) △ABC的外接圓的圆心是△ABC的外心, 即△ABC三边垂直平分线的交点. x O y A(5,1) • C(2,-8) • B(7,-3) • r M • 解2： 例2 △ABC 的三个顶点分别是A(5, 1), B(7, －3), C(2, －8), 求△ABC的外接圆的标准方程. 例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1),B(2,-2)两点, 且圆心C在直线 l: x-y+1=0上, 求此圆的标准方程. 设圆C的方程为 ∵圆心在直线 l: x-y+1=0上，且圆经过A(1,1),B(2,-2) 解1：(待定系数法) 例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1),B(2,-2)两点, 且圆心C在直线 l: x-y+1=0上, 求此圆的标准方程. 解2： 例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1),B(2,-2)两点, 且圆心C在直线 l: x-y+1=0上, 求此圆的标准方程. 解3： ∵ A(1,1),B(2,-2) ∴圆心C(-3,-2) [规律方法]　判断点与圆位置关系的两种方法 1几何法：比较点到圆心的距离与半径的大小关系. 2代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断 例5 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 解：(1)设AP的中点为M(x0，y0)， 由中点坐标公式可知点P坐标为(2x0－2,2y0)． 因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x0－2)2＋(2y0)2＝4． 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1． 例5 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． (2)设PQ的中点为N(x′，y′)． 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|． 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2． 所以x′2＋y′2＋(x′－1)2＋(y′－1)2＝4． 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0． $$