第六章平面向量及应用单元教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

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第六章平面向量及应用

1.单元教学设计说明

向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景。向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁、向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用.本章的学习可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、平面向量基本定理；用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题；提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养。

运用向量方法解决平面几何、物理中的问题，同时推导出三角形边长和角的关系：正弦定理和余弦定理，以及余弦定理、正弦定理应用举例。

    本单元建议用5课时，第一课时：平面几何中的向量方法；第二课时：向量在物理中应用举例；第三课时：余弦定理；第四课时：正弦定理；第五课时：余弦定理、正弦定理应用举例。

2.         单元目标与重点难

本章的单元设计目标为

（1）平面向量的概念

（2）平面向量的运算

（3）平面向量基本定理及坐标表示

（4）平面向量的应用与解三角形

基于上述分析，可以得到本单元的教学难点：①向量加法概念的形成过程，对向量加法法则和减法定义的理解，特别是对向量减法定义的理解；②对共线向量与向量数乘运算的关系的理解；③将实际问题转化为向量问题。

教学中，应借助位移的合成、力的合成这些物理模型定义平面向量的加法；与数的运算类比，讨论平面向量的减法和向量数乘运算；并使学生体会向量运算具有丰富的物理背景和几何意义，这些是突破向量运算难点的支撑条件。

3.单元整体教学思路

本单元是在学生已经学习了平面向量的概念、运算、基本定理以及坐标表示的基础上，对平面向量几何和物理方面的应用的研究。借助向量的物理背景和平面向量运算的几何意义，进一步解决平面几何和物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用。同时归纳总结向量法解决平面几何和物理中的基本套路，基本步骤。

    一方面向量具有明确的几何背景，即有向线段，向量的加法、减法的几何意义是平行四边形和三角形，向量的数乘的几何意义是平行(或共线)，这都为我们自然而然的利用向量来解决有关三角形和平行四边形的相关问题，以及解决平面内两条直线平行或垂直关系的判断。同时也为向量进一步研究三角形边角的确定关系：余弦定理和正弦定理奠定了基础。另一方面向量有丰富的物理背景，即力、速度、加速度和位移，自然而然可以利用向量解决生活中力学现象，最短航程或最短时间等。通过解决平面几何和物理中的问题，意识到，问题最终归结为平面几何问题。而三角形是平面几何中最常见、最重要的图形之一，边和角又是三角形中基本的几何要素，研究边角关系自然是三角形中最重要的关系之一，而余弦定理和正弦定理是刻画三角形边角关系最为重要的两个定理，它们为解三角形提供了基本而重要的工具。应用向量法证明这两个定理，突出了向

量在平面几何中的应用。本单元的内容是按照层层递进式在进行。   

    向量在平面几何和物理中应用，让学生深切体会到向量是工具，也是方法，更是一种数学思想。对后续选择性必修课程中空间向量在立体几何的应用具有启发性，类比向量的解析法学习解析几何做好准备。

    本单元研究向量的应用方法，借助向量的几何和物理背景，充分的体现向量的工具性、方法性和思想性。进一步让学生体会向量是代数和几何完美结合，解决问题的一把利器。因而本单元的内容蕴含了数形结合、类比、归纳等数学思想方法，是培养学生逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体。

    基于以上分析，可以确定本单元的教学重点：用向量法解决简单几何问题、实际问题的方法和步骤，用向量法证明余弦定理和正弦定理的应用。