三角函数函数的图像和性质讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

三角函数的图像和性质

一、正弦函数定义：实数集与角的集合之间存在一一对应关系，而一个确定的角对应着唯一确定的正弦值，

这样，任意给定一个实数有唯一确定的值与之对应。由这个对应法则所确定

的函数叫做正弦函数，其定义域是

二、正弦函数的图象

1、用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象(几何法)

根据终边相同的角的同名三角函数值相等,把上述图象沿着轴向右、向左连续地平行移动(每次移动个单位长度)，就得到的图象

2、用五点法作正弦的简图（描点法）

正弦函数的图像，五个关键点

只要这五个点描出后，图像就基本确定了，常用五点法作正、余函数的简图，

特点：方便快捷、精度不高！

三、正弦函数性质

1、定义域：

2、值域:

3、正弦函数的单调性

单调增区间：，其值从增大到

单调减区间：，其值从减小到

4、正弦函数的奇偶性

为奇函数 关于原点对称；

5、对称点和对称轴

对称点：（）（零点）

对称轴：，（对称轴过最值）

  6、最值

      当，时，有最大值，最大值为1

      当，时，有最小值，最小值为

7、周期性

（1）周期函数的定义：一对于函数，定义域为，任取，存在非零常数，都有，那么函数就叫做周期函数：非零常数叫做这个函数的周期生活中的周期（手表、星期，人的智力是33天周期，情绪28天、体力是23天。）

        最小正周期：如果函数周期是，那么也是函数周期，周期函数不唯一，如果周期中存在

最小的整数，就称为最小正周期， 周期函数不一定存在最小正周期.例如,对于

常数函数

（2）正弦函数最小正周期性：

    注意：1、是正弦函数最小正周期，周期有无数个，如，，…

2、正弦函的两个相邻的对称轴为半个周期，两个相邻的对称中心为半个周期

四、余弦函数的图像

1、作余弦函数的图象

平移法：根据诱导公式，可以把正弦函数的图象向左平移个单位长度即得余弦函数的图象。

类似于正弦函数,把上述图象沿着x轴向右、向左连续地平行移动，就得到了的图像

2、用五点法作余弦函数的简图

余弦函数的图像，五个关键点

五、弦余函数性质

1、定义域：

2、值域:

3、余弦函数的单调性

单调增区间：，其值从增大到1，

单调减区间：，其值从1减小到

4、余弦函数的奇偶性

为偶函数 关于y轴对称；

5、对称点和对称轴

对称点：（）（零点）

对称轴：，（对称轴过最值）

    6、最值

      当，时，有最大值，最大值为1

      当，时，有最小值，最小值为-1

7、周期性

余弦函数周期性：

    注意：1、是余弦函数最小正周期，周期有无数个，如，，…

          2、余弦函的两个相邻的对称轴为半个周期，两个相邻的对称中心为半个周期

 六、图像考察

【例1】函数，的大致图像是（ ）

 

 

 

      解：方法一：：

                 ：

                 ：

         方法二：图像平移，答案B

【例2】函数，的大致图像为（ ）

 

 

 

 

        解：，答案为D

  【例3】函数的部分图像是（ ）