5.4一般的对称性和周期性讲义（知识点+基础题+提升题+解析）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册
一般的对称性和周期性
函数的一般对称性
我们学习函数的奇偶性，是一种特殊的对称，关于y轴对称和原点对称，则有代数表达，奇函数有
；偶函数有
；那么把这种性质推广一般情形，关于
轴对称和任
意点的中心对称，那对于函数的一般对称性又有什么代数表达呢，我们来研究函数的一般对称性
1、一般的轴对称的性质
若图像关于对称，当取在a的左右两侧相同距离的自变量
和
时，
自变量的平均值是
: 代数描述:
函数值相等： 代数描述:
常见形式
关于对称；
关于对称；
关于
对称
2、一般的中心对称的性质
若图像关于点（
）对称，当取在a的左右两侧相同距离的自变量和时，
自变量的平均值是: 代数描述:
函数值的平均值是
： 代数描述:
常见形式
关于
对称
关于对称；
关于
对称
理解：代数式
图像（对于代数式和图像的理解，便于记忆）
【例1】写成下来函数的轴对称或中心对称
（1）
中心
（2）
轴对称
【例2】对于二次函数
对任意
有（ ）
A、
B 、
C、
D、
解：函数对称轴为
方法一：任取
，代入各选项，判断谁关于对称，答案选B
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方法二： 讲解小人和镜子
【例3】已知函数
，其中，为常数，，则=_____
解：
【例4】若函数
满足
，且在
上单调递减，
，则
的解集为______
解：由图像可知
【例5】已知定义域为
的函数满足
，且函数在区间
上单调递增，
如果
，且
，则
的值（ ）
A、可正可负 B、恒大于0 C、可能为0 D、恒小于0
解：函数关于
对称
由图像可知，答案为D
【例6】对于函数对任意有
，且方程有且只有3个不相等实根，
那这三个根之和为____
解：对称轴为x=3，答案:9
3、那些函数具有一般对称性（高考常考这几种）
（1）
；对称中心
（
，对称中心
）
（2）
；中心对称（
，
，对称中心（
））
（3）
；对称中心
（4）
；对称轴
（5）
；对称轴（
为偶函数）
（6）若
是偶函数，则关于
对称
（7）若是奇函数，则关于点对称
【例7】函数
的对称中心为
，则
________
解：找对称中心方法：
令分母为零求出
：；
系数之比为
：
【例8】函数
的对称中心是_______
解：对称中心为
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【例9】已知函数
，若
，则
_______
解：思考：
对称中心为
；
对称中心为
，但是无法判断对称中心
，又
的对称中心为
所以函数图像把
向上平移2个单位，所以函数对称中心为
所以
【例10】（全国2卷）已知函数
，满足
，若函数
与
的
图像的交点为
，则
=______
解：函数的对称中心
，函数的对称中心也为
假设这两个函数只有两个交点，
，所以
因为两个函数有
交点，两个交点为一对，分成
个对
【例11】已知
，则不等式
的解集是（ ）
A、
B、
C、
D、
解：
，所以
关于对称，且为增函数
，答案A
4、复杂函数利用对称性求值（
函数求值）（小题压轴或倒数第二题）（秒杀）
识别：定义域对称、自变量对称、函数值对称
条件：
（为常数）
结论：
推导：设
（
为奇函数）
所以
原理：对奇函数进行了上下平移
关键点：找到常数b（两种方法：①根据奇函数性质分离出常数，②
(0处有定义)）
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